Учебник для 7 класса

Алгебра

6. Уравнение и его корни

Рассмотрим задачу: «На нижней полке в 4 раза больше книг, чем на верхней. Если с нижней полки переставить на верхнюю 15 книг, то книг на полках станет поровну. Сколько книг на верхней полке?»

Обозначим буквой х число книг на верхней полке. Тогда число книг на нижней нолке равно 4х. Если с нижней нолки переставить на верхнюю 15 книг, то на нижней полке останется 4х - 15 книг, а на верхней будет х + 15 книг. По условию задачи после такой перестановки книг на полках окажется поровну. Значит,

4х - 15 = x + 15.

Чтобы найти неизвестное число книг, мы составили равенство, содержащее переменную. Такие равенства называют уравнениями с одной переменной или уравнениями с одним неизвестным.

Нам надо найти число, при подстановке которого вместо х в уравнение 4x - 15 = x + 15 получается верное равенство. Такое число называют решением уравнения или корнем уравнения.

Из уравнения

4х - 15 = х + 15

находим, что

4х - х = 15 + 15,
Зх = 30,
х = 10.

Уравнение 4х - 15 = х + 15 имеет один корень — число 10.

Можно привести примеры уравнений, которые имеют два, три и более корней или не имеют корней.

Так, уравнение (х - 4)(х - 5)(х - 6) = 0 имеет три корня: 4, 5 и 6. Действительно, каждое из этих чисел обращает в нуль один из множителей произведения (х - 4)(х - 5)(х - 6), а значит, и само произведение. При любом другом значении х ни один из множителей в нуль не обращается, а значит, не обращается в нуль и произведение. Уравнение х + 2 = х не имеет корней, так как при любом значении х левая часть уравнения на 2 больше его правой части.

Уравнение х² - 4 имеет два корня — числа 2 и -2. Уравнение (х - 2)(х + 2) = 0 также имеет корни 2 и -2. Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными уравнениями. Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными.

При решении уравнений используются следующие свойства:

Например, равносильны уравнения 5х = 2х + 7 и 5х - 2х = 7, равносильны также уравнения 6х = 2х + 8 и Зх = х + 4.

Указанные свойства уравнений можно доказать, опираясь на свойства числовых равенств: если к обеим частям верного равенства прибавить одно и то же число или обе части верного равенства умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится верное равенство.

Упражнения

111. Является ли число 3 корном уравнения:

     

112. Какие из чисел -2, - 1, 0, 2, 3 являются корнями уравнения:

     

113. Является ли корнем уравнения х(х - 5) = 6 число:

     

114. Докажите, что каждое из чисел 7, -3 и 0 является корнем уравнения х(х + 3)(х - 7) = 0.
115. Докажите, что каждое из чисел 1,2 и —1,2 является корнем уравнения х² = 1,44.
116. Докажите, что:

     а) корнем уравнения 1,4(y + 5) = 7+1,4y является любое число;

     б) уравнение у - 3 = у не имеет корней.

117. Имеет ли корни уравнение:

     

118. Какое из уравнений не имеет корней?

     

119. Составьте какое-нибудь уравнение, корнем которого является число: а) 8; б) -12.
120. Имеет ли уравнение корни и сколько:

     

121. Замените:

     а) уравнение 0,3x = -4 равносильным уравнением с целыми коэффи циентам и;

     б) уравнение 5x - 4 = 21 равносильным уравнением вида ах = b, где а и b — некоторые числа.

122. Упростите выражение:

     

123. Найдите значение выражения

     8(3 -3,5m) - 20 + 23m

     при m = 2,5; 1,2; 40.

124. На координатной плоскости (рис. 5) отмечены точки А, В, С, D, Е и F.

     

     Рис. 5

     Найдите их координаты.

125. Отметьте в координатной плоскости точки A (-4; -2), B(0; -3), C(3; -3), D(-2; 0), Е(-1; 5), F(0; 1).