|
|
Учебник для 7 класса Алгебра5. Тождества. Тождественные преобразования выраженийНайдём значения выражений 3(х + у) и Зх + Зу при х = 5, у = 4: 3(х + y) = 3(5 + 4) = 3 • 9 = 27,
Мы получили один и тот же результат. Из распределительного свойства следует, что вообще при любых значениях переменных значения выражений 3(х + у) и 3x + 3у равны.
Рассмотрим теперь выражения 2х + у и 2ху. При х = 1, у = 2 они принимают равные значения: 2х + у = 2 • 1 + 2 = 4,
Однако можно указать такие значения х и у, при которых значения этих выражений не равны. Например, если х = 3, у = 4, то 2х + у = 2 • 3 + 4 = 10,
Выражения 3(х + у) и Зх + Зу являются тождественно равными, а выражения 2х + у и 2ху не являются тождественно равными. Равенство 3(x + у) = Зх + Зу верно при любых значениях х и у. Такие равенства называются тождествами.
Тождествами считают и верные числовые равенства. С примерами тождеств вы уже встречались. Так, тождествами являются равенства, выражающие основные свойства действий над числами: а + b = b + а, (а + b) + с = а + (b + с),
Можно привести и другие примеры тождеств: а + 0 = а, а + (-а) = 0, а - b = а + (-b),
Чтобы найти значение выражения ху - хz при заданных значениях х, у и z, надо выполнить три действия. Например, при х = 2,3, у = 0,8, z = 0,2 получаем ху - хz = 2,3 • 0,8 - 2,3 • 0,2 = 1,84 - 0,46 = 1,38. Этот результат можно получить, выполнив лишь два действия, если воспользоваться выражением х(у - z), тождественно равным выражению ху - хz: х(у - z) = 2,3 (0,8 - 0,2) = 2,3 • 0,6 = 1,38. Мы упростили вычисления, заменив выражение ху - хz тождественно равным выражением х(у - z).
Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами. Тождественные преобразования выражений широко применяются при вычислении значений выражений и решении других задач. Некоторые тождественные преобразования вам уже приходилось выполнять, например приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок. Напомним правила выполнения этих преобразований:
Пример 1. Приведём подобные слагаемые в сумме 5х + 2х - Зх. Решение: Воспользуемся правилом приведения подобных слагаемых: 5х + 2х - Зх = (5 + 2 - 3)х = 4х. Это преобразование основано на распределительном свойстве умножения. Пример 2. Раскроем скобки в выражении 2а + (b - 3с). Решение: Применим правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «плюс»: 2а + (b - Зс) = 2а + b - Зс. Проведённое преобразование основано на сочетательном свойстве сложения. Пример 3. Раскроем скобки в выражении а - (4b - с). Решение: Воспользуемся правилом раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «минус»: а - (4b - с) = а - 4b + с. Выполненное преобразование основано на распределительном свойстве умножения и сочетательном свойстве сложения. Покажем это. Представим в данном выражении второе слагаемое -(4b - с) в виде произведения (-1)(4b - с): а - (4Ь - с) = а + (-1)(4b - с). Применив указанные свойства действий, получим а - (4b - с) = а + (-1)(4b - с) = а + (-4b + с) = а - 4b + с. Упражнения
Контрольные вопросы и задания
*В дальнейшем понятия «тождественно равные выражения» и «тождество» будут уточнены.
|
|
|