Геометрия
7-9 классы

       

§ 2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Перпендикуляр к прямой

Рассмотрим прямую а и точку А, не лежащую на этой прямой (рис. 55). Соединим точку А отрезком с точкой Н прямой а. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведённым из точки А к прямой а, если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н называется основанием перпендикуляра.


Рис. 55

Теорема

Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Доказательство

Пусть А — точка, не лежащая на прямой ВС (рис. 56, а). Докажем сначала, что из точки А можно провести перпендикуляр к прямой ВС.

Отложим от луча ВС угол МВС, равный углу АВС, как показано на рисунке 56, а. Так как углы АВС и МВС равны, то первый из них можно наложить на второй так, что стороны В А и ВС первого угла совместятся со сторонами ВМ и ВС второго угла. Наглядно это наложение можно представить себе как перегибание рисунка по прямой ВС. При этом точка А наложится на некоторую точку А1 луча ВМ (рис. 56, б). Обозначим буквой Н точку пересечения прямых AA1 и ВС. Отрезок АН и есть искомый перпендикуляр к прямой ВС. В самом деле, при указанном наложении (перегибании рисунка) луч НА совмещается с лучом НА1 поэтому угол 1 совмещается с углом 2. Следовательно, ∠1 = ∠2. Но углы 1 и 2 — смежные, значит, каждый из них прямой. Итак, АН ⊥ ВС.


Рис. 56

Докажем теперь, что из точки А можно провести только один перпендикуляр к прямой ВС.

Если предположить, что через точку А можно провести ещё один перпендикуляр АН1 к прямой ВС, то получим, что две прямые АН и АН1, перпендикулярные к прямой ВС, пересекаются (рис. 57). Но в п. 12 было доказано, что это невозможно. Итак, из точки А можно провести только один перпендикуляр к прямой ВС. Теорема доказана.


Рис. 57

Для проведения на чертеже перпендикуляра из точки к прямой используют чертёжный угольник (рис. 58).


Рис. 58

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника (рис. 59, а).

Любой треугольник имеет три медианы. На рисунке 59,6 отрезки АМ1, ВМ2, СМ3 — медианы треугольника АВС.


Рис. 59

Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника (рис. 60, а).

Любой треугольник имеет три биссектрисы. На рисунке 60, б отрезки СС1, DD1 и ЕЕ1 — биссектрисы треугольника CDE.


Рис. 60

Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника (рис. 61).


Рис. 61

Любой треугольник имеет три высоты. На рисунках 62, а, б, в отрезки АН1, ВН2, СН3 — высоты треугольника АВС.


Рис. 62

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника обладают замечательными свойствами:

Медианы треугольника пересекаются в одной точке (рис. 59, б);

биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (рис. 60, б);

высоты треугольника или их продолжения также пересекаются в одной точке (рис. 62, а, б, в).

Свойства равнобедренного треугольника

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника (рис. 63, а).

Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним (рис. 63, б).


Рис. 63

Докажем две теоремы о свойствах равнобедренного треугольника.

Теорема

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство

Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС и докажем, что ∠B = ∠C. Пусть AD — биссектриса треугольника АВС (рис. 64). Треугольники ABD и ACD равны по первому признаку равенства треугольников (АВ = АС по условию, AD — общая сторона, ∠1 = ∠2, так как AD — биссектриса). В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, поэтому ∠B = ∠C. Теорема доказана.


Рис. 64

Теорема

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

Доказательство

Обратимся снова к рисунку 64, на котором ΔАВС — равнобедренный треугольник с основанием ВС, AD — его биссектриса.

Из равенства треугольников ABD и ACD следует, что BD = DC и ∠3 = ∠4. Равенство BD = DC означает, что точка D — середина стороны ВС, и поэтому AD — медиана треугольника АВС. Так как углы 3 и 4 — смежные и равны друг другу, то они прямые. Следовательно, отрезок AD является также высотой треугольника АВС. Теорема доказана.

Мы установили, что биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника, проведённые к основанию, совпадают. Поэтому справедливы также утверждения:

1. Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой.

2. Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.

Практические задания

100. Начертите прямую а и отметьте точки А и В, лежащие по разные стороны от прямой а. С помощью чертёжного угольника проведите из этих точек перпендикуляры к прямой а.

101 Начертите треугольник. С помощью масштабной линейки отметьте середины сторон и проведите медианы треугольника.

102. Начертите треугольник. С помощью транспортира и линейки проведите его биссектрисы.

103. Начертите треугольник АВС с тремя острыми углами и треугольник MNP, у которого угол М тупой. С помощью чертёжного угольника проведите высоты каждого треугольника.

104. Начертите три равнобедренных треугольника так, чтобы угол, лежащий против основания, был:

    а) острым;

    б) прямым;

    в) тупым.

Задачи

105. Точки А и С лежат по одну сторону от прямой а. Перпендикуляры АВ и CD к прямой а равны.

    а) Докажите, что ∠ABD = ∠CDB;
    б) найдите ∠ABC, если ∠ADB = 44°.

106. Медиана AD треугольника АВС продолжена за точку D на отрезок DE, равный AD, и точка Е соединена с точкой С.

    а) Докажите, что AABD = AECD;
    б) найдите ∠ACE, если ∠ACD = 56°, ∠ABD = 40°.

107. В равнобедренном треугольнике основание в два раза меньше боковой стороны, а периметр равен 50 см. Найдите стороны треугольника.

108. Периметр равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС равен 40 см, а периметр равностороннего треугольника BCD равен 45 см. Найдите стороны АВ и ВС.

109. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведена медиана AM. Найдите медиану AM, если периметр треугольника АВС равен 32 см, а периметр треугольника АВМ равен 24 см.

110. Докажите, что если медиана треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный.

111. На рисунке 65 CD = BD, ∠1 =∠2. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный.


Рис. 65

112. На рисунке 66 АВ = ВС, ∠1 = 130°. Найдите ∠2.


Рис. 66

113. Точки М и Р лежат по одну сторону от прямой b. Перпендикуляры MN и PQ, проведённые к прямой b, равны. Точка О — середина отрезка NQ.

    а) Докажите, что ∠OMP = ∠OPM;
    б) найдите ∠NOM, если ∠MOP = 105°.

114. Докажите, что в равных треугольниках медианы, проведённые к равным сторонам, равны.

115. Медиана AM треугольника АВС равна отрезку ВМ. Докажите, что один из углов треугольника АВС равен сумме двух других углов.

116. Докажите, что в равностороннем треугольнике все углы равны.

117. На рисунке 67 АВ = ВС, CD = DE. Докажите, что ∠BAC = ∠CED.


Рис. 67

118. На основании ВС равнобедренного треугольника АВС отмечены точки М и N так, что ВМ = CN. Докажите, что:

    а) ΔВАМ = ΔСAN;
    б) треугольник AMN равнобедренный.

119. В равнобедренном треугольнике DEK с основанием DK = 16 см отрезок EF — биссектриса, ∠DEF = 43°. Найдите KF, ∠DEK, ∠EFD.

120. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана BD. На сторонах АВ и СВ отмечены соответственно точки Е и F так, что AE = CF. Докажите, что:

    a) ΔBDE = ΔBDF;
    б) ΔADE = ΔCDF.

Ответы к задачам

105. б) 46°.

106. б) 96°.

107. 10 см, 20 см и 20 см.

108. АВ = 12,5 см и ВС= 15 см.

109. 8 см. 112. 50°.

113. б) 37°30'.

115. ∠A = ∠B + ∠C.

119. KF= 8 см, ∠DEK = 86°, ∠EFD = 90°.

Рейтинг@Mail.ru