Учебник для 7-9 классов

Геометрия

§ 3. Второй и третий признаки равенства треугольников

Второй признак равенства треугольников

Теорема

Доказательство

Рассмотрим треугольники АВС и A₁B₁C₁, у которых АВ = A₁B₁, ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁ (рис. 68). Докажем, что ΔАВС = ΔА₁В₁С₁.

Рис. 68

Наложим треугольник АВС на треугольник A₁B₁C₁ так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А₁, сторона АВ — с равной ей стороной AjBj, и вершины С и С₁ оказались по одну сторону от прямой А₁В₁.

Так как ∠A = ∠A₁ и ∠B = ∠B₁, то сторона АС, наложится на луч А₁С₁, а сторона ВС — на луч В₁С₁. Поэтому вершина С — общая точка сторон АС и ВС — окажется лежащей как на луче А₁С₁, так и на луче B₁C₁ и, следовательно, совместится с общей точкой этих лучей — вершиной С₁. Значит, совместятся стороны АС и A₁C₁, ВС и В₁С₁.

Итак, треугольники АВС и А₁В₁С₁ полностью совместятся, поэтому они равны. Теорема доказана.

Третий признак равенства треугольников

Теорема

Доказательство

Рассмотрим треугольники АВС и A₁B₁C₁, у которых АВ = А₁В₁, ВС = В₁С₁, СА = С₁А₁ (рис. 69).

Рис. 69

Докажем, что ΔАВС = ΔА₁В₁С₁. Приложим треугольник АВС к треугольнику A₁B₁C₁ так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А₁, вершина В — с вершйной В₁, а вершины С и С₁ оказались по разные стороны от прямой A₁B₁ (рис. 70).

Рис. 70

Возможны три случая: луч С₁С проходит внутри угла А₁С₁В₁ (рис. 70, а); луч С₁С совпадает с одной из сторон этого угла (рис. 70, б); луч С₁С проходит вне угла А₁С₁В₁ (рис. 70, в). Рассмотрим первый случай (остальные случаи рассмотрите самостоятельно).

Так как по условию теоремы стороны АС и А₁С₁, ВС и В₁С₁ равны, то треугольники А₁С₁С и В₁С₁С — равнобедренные (см. рис. 70, а). По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, поэтому ∠A₁CB₁ = ∠A₁C₁B₁. Итак, АС = А₁С₁, ВС = В₁С₁, ∠C = ∠C₁.

Следовательно, треугольники АВС и А₁В₁С₁ равны по первому признаку равенства треугольников. Теорема доказана.

Из третьего признака равенства треугольников следует, что треугольник — жёсткая фигура. Поясним, что это означает.

Представим себе две рейки, у которых два конца скреплены гвоздём (рис. 71, а). Такая конструкция не является жёсткой: сдвигая или раздвигая свободные концы реек, мы можем менять угол между ними. Теперь возьмём ещё одну рейку и скрепим её концы со свободными концами первых двух реек (рис. 71, б).

Рис. 71

Полученная конструкция — треугольник — будет уже жёсткой. В ней нельзя сдвинуть или раздвинуть никакие две стороны, т. е. нельзя изменить ни один угол. Действительно, если бы это удалось, то мы получили бы новый треугольник, не равный исходному. Но это невозможно, так как новый треугольник должен быть равен исходному по третьему признаку равенства треугольников.

Это свойство — жёсткость треугольника — широко используется на практике. Так, чтобы закрепить столб в вертикальном положении, к нему ставят подпорку (рис. 72, а); такой же принцип используется при установке кронштейна (рис. 72, б).

Рис. 72

Задачи

121. Отрезки АВ и CD пересекаются в середине О отрезка АВ, ∠OAD = ∠OBC.

а) Докажите, что ΔСВО = ΔDAO;
б) найдите ВС и СО, если CD = 26 см, AD = 15 см.

122. На рисунке 53 (см. с. 31) ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4.

а) Докажите, что ΔАВС = ΔCDA;
б) найдите АВ и ВС, если АО =19 см, CD = 11 см.

123. На биссектрисе угла А взята точка D, а на сторонах этого угла — точки В и С такие, что ∠ADB = ∠ADC. Докажите, что BD = CD.

124. По данным рисунка 73 докажите, что ОР = ОТ, ∠P = ∠T.

Рис. 73

125. На рисунке 74 ∠DAC = ∠DBC, АО = ВО. Докажите, что ∠C = ∠D и AC = BD.

Рис. 74

126. На рисунке 74 ∠DAB = ∠CBA, ∠CAB = ∠DBA, АС =13 см. Найдите BD.

127. В треугольниках АВС и А₁B₁С₁ АВ = А₁В₁, ВС = B₁C₁, ∠B — ∠B₁. На сторонах АВ и A₁B₁ отмечены точки D и D₁ так, что ∠ACO = ∠A₁C₁D₁. Докажите, что ΔBCD = ΔB₁C₁D₁.

128. Докажите, что в равных треугольниках биссектрисы, проведённые к соответственно равным сторонам, равны.

129. Отрезки АС и BD пересекаются в середине О отрезка АС, ∠BCO = ∠DAO. Докажите, что ΔВОА = ΔDOC.

130. В треугольниках АВС и A₁В₁С₁ отрезки СО и С₁О₁ — медианы, BC = B₁C₁, ∠B — ∠B₁ и ∠C = ∠C₁. Докажите, что:

а) ΔАСО = ΔА₁С₁О₁;
б) ΔВСO = ΔВ₁С₁O.

131. В треугольниках DEF и MNP EF — NP, DF = MP и ∠F = ∠P. Биссектрисы углов Е и D пересекаются в точке О, а биссектрисы углов М и N — в точке К. Докажите, что ∠DOE = ∠MKN.

132. Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла А, пересекает стороны угла в точках М и N. Докажите, что треугольник AMN — равнобедренный.

133. Докажите, что если биссектриса треугольника является его высотой, то треугольник — равнобедренный.

134. Докажите, что равнобедренные треугольники равны, если основание и прилежащий к нему угол одного треугольника соответственно равны основанию и прилежащему к нему углу другого треугольника.

135. Докажите, что если сторона одного равностороннего треугольника равна стороне другого равностороннего треугольника, то треугольники равны.

136. На рисунке 52 (см. с. 31) АВ-АС, BD = DC и ∠BAC = 50°. Найдите ∠CAD.

137. На рисунке 53 (см. с. 31) BC = AD, AB = CD. Докажите, что ∠B = ∠D.

138. На рисунке 75 AB = CD и BD = АС. Докажите, что: a) ∠CAD = ∠ADB; б) ∠BAC = ∠CDB.

Рис. 75

139. На рисунке 76 AB = CD, AD = BC, BE — биссектриса угла ABC, a DF — биссектриса угла ADC. Докажите, что:

а) ∠ABE = ∠ADF;
б) ΔАВЕ = ΔCDF.

Рис. 76

140. В треугольниках АВС и А₁В₁С₁ медианы ВМ и В₁М₁ равны, АВ = А₁В₁ АС = А₁С₁. Докажите, что ΔАВС = ΔА₁В₁С₁.

141. В треугольниках АВС и А₁В₁С₁ отрезки AD и A₁D₁ — биссектрисы, АВ = А₁В₁, BD = B₁D₁ и AD = A₁D₁. Докажите, что ΔАВС = ΔА₁В₁С₁.

142. Равнобедренные треугольники ADC и BCD имеют общее основание DC. Прямая АВ пересекает отрезок CD в точке О. Докажите, что: a) ∠ADB = ∠ACB; б) DO = OC.

Ответы к задачам

121. б) ВС = 15 см, СО = 13 см.

122. б) АВ = 11 см, ВС =19см.

126. 13см.

136. 25°.

142. Указание. Рассмотреть два случая. Точка В лежит: а) на луче АО; б) на продолжении луча АО.