Геометрия
7-9 классы

       

§ 1. Первый признак равенства треугольников

Треугольник

В этой главе вы начнёте изучение свойств треугольников и окружностей. Треугольник — одна из самых простых и вместе с тем самых важных фигур в геометрии. То же самое можно сказать об окружности. Оказывается, что эти простые фигуры таят в себе много интересного и неожиданного. Различные их свойства вы будете изучать на протяжении всего курса геометрии. При этом мы будем формулировать и доказывать теоремы. Что такое теорема и что значит доказать теорему, вы узнаете в данной главе, где появятся первые теоремы о треугольниках.

Отметим какие-нибудь три точки, не лежащие на одной прямой, и соединим их отрезками (рис. 49, а). Получим геометрическую фигуру, которая называется треугольником. Отмеченные три точки называются вершинами, а отрезки — сторонами треугольника. На рисунке 49, б изображён треугольник с вершинами А, В, С и сторонами АВ, ВС и С А. Такой треугольник будем обозначать так: ΔАВС (читается: «треугольник АВС»). Этот же треугольник можно обозначить иначе, записав буквы А, В, С в другом порядке: ΔВСА, ΔСВА и т. д.


Рис. 49

Три угла — ∠ВАС, ∠СВА и ∠АСВ — называются углами треугольника АВС. Часто их обозначают одной буквой: ∠А, ∠В, ∠С.

Сумма длин трёх сторон треугольника называется его периметром.

Напомним, что две фигуры, в частности два треугольника, называются равными, если их можно совместить наложением. На рисунке 50 изображены равные треугольники АВС и А1В1С1.


Рис. 50

Каждый из этих треугольников можно наложить на другой так, что они полностью совместятся, т. е. попарно совместятся их вершины и стороны. Ясно, что при этом совместятся попарно и углы этих треугольников.

Таким образом, если два треугольника равны, то элементы (т. е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.

Отметим, что в равных треугольниках против соответственно равных сторон (т. е. совмещающихся при наложении) лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны. Так, например, в равных треугольниках АВС и А1В1С1, изображённых на рисунке 50, против соответственно равных сторон АВ и А1В1 лежат равные углы С и С1.

Равенство треугольников АВС и А1В1С1 обозначается так: ΔАВС = ΔА1В1С1. Оказывается, что равенство двух треугольников можно установить, не накладывая один треугольник на другой, а сравнивая только некоторые их элементы. Как это сделать, мы обсудим в следующих пунктах.

Такая возможность — установить равенство двух фигур, не производя наложения одной на другую, а измеряя и сравнивая лишь некоторые элементы этих фигур, важна для практики, например для сравнения двух земельных участков, которые, конечно, нельзя наложить друг на друга.

Первый признак равенства треугольников

В математике каждое утверждение, справедливость которого устанавливается путём рассуждений, называется теоремой, а сами рассуждения называются доказательством теоремы. Фактически мы уже имели дело с теоремами и их доказательствами. Так, утверждение о равенстве вертикальных углов является теоремой, а рассуждения, которые мы провели, чтобы установить равенство вертикальных углов, и есть доказательство этой теоремы. В этом параграфе мы докажем одну из теорем о равенстве треугольников.

Теорема

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство

Рассмотрим треугольники АВС и А1В1С1, у которых АВ = А1В1, АС = А1С1, углы А и А1 равны (рис. 51). Докажем, что ΔАВС = ΔА1В1С1.


Рис. 51

Так как ∠A = ∠A1, то треугольник АВС можно наложить на треугольник А1В1С1 так, что вершина А совместится с вершиной А1, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А1В1 и А1С1. Поскольку АВ = А1В1, АС = А1С1, то сторона АВ совместится со стороной А1В1, а сторона АС — со стороной А1С1; в частности, совместятся точки В и В1, С и С1. Следовательно, совместятся стороны ВС и В1С1. Итак, треугольники АВС и А1В1С1 полностью совместятся, значит, они равны. Теорема доказана.

Доказанная теорема выражает признак (равенство у треугольников двух сторон и угла между ними), по которому можно сделать вывод о равенстве треугольников. Он называется первым признаком равенства треугольников.

Практические задания

87. Начертите треугольник и обозначьте его вершины буквами М, N и Р.

    а) Назовите все углы и стороны треугольника;

    б) с помощью масштабной линейки измерьте стороны и найдите периметр треугольника.

88. Начертите треугольник DEF так, чтобы угол Е был прямым. Назовите:

    а) стороны, лежащие против углов D, Е, F;

    б) углы, лежащие против сторон DE, EF, FD;

    в) углы, прилежащие к сторонам DE, EF, FD.

89. С помощью транспортира и масштабной линейки начертите треугольник АВС, в котором:

    а) АВ = 4,3 см, АС = 2,3 см, ∠A = 23°;

    б) ВС = 9 см, В А = 6,2 см, ∠B = 122°;

    в) СА = 3см, СВ = 4 см, ∠C = 90°.

Задачи

90. Сторона АВ треугольника АВС равна 17 см, сторона АС вдвое больше стороны АВ, а сторона ВС на 10 см меньше стороны АС. Найдите периметр треугольника АВС.

91. Периметр треугольника равен 48 см, а одна из сторон равна 18 см. Найдите две другие стороны, если их разность равна 4,6 см.

92. Периметр одного треугольника больше периметра другого. Могут ли быть равными эти треугольники?

93. Отрезки АЕ и DC пересекаются в точке В, являющейся серединой каждого из них. а) Докажите, что треугольники АВС и EBD равны; б) найдите углы А и С треугольника АВС, если в треугольнике BDE ∠D = 47°, ∠E- 42°.

94. На рисунке 52 АВ = АС, ∠1 = ∠2. а) Докажите, что треугольники ABD и ACD равны; б) найдите BD и АВ, если АС = 15 см, DC - 5 см.


Рис. 52

95. На рисунке 53 BC = AD, ∠1 = ∠2. а) Докажите, что треугольники АВС и CDA равны; б) найдите АВ и ВС, если AD = 17 см, DC = 14 см.


Рис. 53

96. На рисунке 54 ОА = OD, ОВ = ОС, ∠1 = 74°, ∠2 = 36°. а) Докажите, что треугольники АОВ и DOC равны; б) найдите ∠ACD.


Рис. 54

97. Отрезки АС и BD точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что ΔАВС = ΔCDA.

98. QB треугольниках АВС и А1В1С1 АВ = А1В1, АС = А1С1, ∠A = ∠A1. На сторонах АВ и А1В1 отмечены точки Р и Р1 так, что АР = А1Р1. Докажите, что ВРС = В1Р1С1.

99. Д На сторонах угла CAD отмечены точки В и Е так, что точка В лежит на отрезке АС, а точка Е — на отрезке AD, причём AC = AD и АВ = АЕ. Докажите, что ∠CBD = ∠DEC.

Ответы к задачам

90. 75 см.

91. 12,7 см и 17,3 см.

92. Нет.

93. б) 42°, 47°.

94. б) ВВ = 5 см, АВ = 15 см.

95. б) АВ = 14 см, ВС =17 см.

96. б) 110°.

Рейтинг@Mail.ru