Геометрия
10-11 классы

§ 18. Цилиндр

18.1 Определение и общие свойства цилиндра

Слово «цилиндр» часто встречается в технике. Цилиндры обычно представляют себе круглыми, т. е. с круглым основанием (рис. 153, а). В общем же случае их можно определить так.

Рис. 153

Пусть даны две параллельные плоскости а и а' и на плоскости а задана некоторая фигура F, не лежащая на одной прямой. Из всех точек фигуры F проведём параллельные друг другу отрезки до плоскости а'. Фигура, которую образуют эти отрезки, и называется цилиндром (рис. 153, б). Фигура F, из точек которой проводятся отрезки, называется основанием цилиндра. Отрезки, образующие цилиндр, так и называются его образующими.

Из данных определений вытекают такие свойства.

  1. Все образующие цилиндра равны друг другу как параллельные отрезки между параллельными плоскостями (задача 14.1).

    Концы образующих на плоскости а', параллельной плоскости α, образуют некоторую фигуру F'. Можно считать, что образующие выходят из неё. Поэтому и фигура F' может считаться основанием цилиндра. Если, как обычно принято, представлять плоскости оснований горизонтальными, то одно основание называют нижним, а другое — верхним.

  2. Основания цилиндра равны друг другу. Действительно, пусть F и F' — основания данного цилиндра. Каждой точке X ∈ F соответствует точка X' — конец образующей, идущей из точки X. Если точкам X, Y основания F соответствуют точки X', Y' основания F', то отрезки XX' и YY' равны и параллельны (рис. 154, а). Стало быть, четырёхугольник XX'Y'Y — параллелограмм. Поэтому отрезки XY и X'Y' также равны и параллельны. Равенство отрезков XY и X'Y' означает равенство фигур F и F'.

Рис. 154

  1. Все сечения цилиндра плоскостями, параллельными плоскостям его оснований (и лежащими между ними), равны друг другу (и равны основаниям цилиндра).

Действительно, каждое такое сечение является общим основанием двух цилиндров, на которые секущая плоскость разбивает данный цилиндр (рис. 154, б). Поэтому она равна другим основаниям этих цилиндров, которые являются основаниями исходного цилиндра.

Замечание. Можно сказать, что цилиндр получается при параллельном переносе основания вдоль образующих. Он получается также переносом образующей по основанию.

Переносим ли мы параллельно образующие по основанию или основание по образующим — получим один и тот же цилиндр.

Перпендикуляр, опущенный из любой точки плоскости одного основания цилиндра на плоскость другого его основания, называется высотой цилиндра (рис. 155). Длина такого перпендикуляра также называется высотой цилиндра. Так как плоскости оснований параллельны, то перпендикуляры у них общие и все равны. Поэтому высоту можно проводить из любой точки плоскости основания.

Рис. 155

Для того чтобы задать цилиндр, достаточно задать его основание и одну образующую. Соответственно цилиндры различаются по виду основания и наклону образующих.

Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскости основания (рис. 156). Для этого достаточно, чтобы какая-то образующая была перпендикулярна плоскости основания, так как остальные образующие параллельны ей и тоже будут перпендикулярны плоскости основания.

Рис. 156

18.2 Замечания об определении цилиндра

  1. Цилиндрами называются также фигуры, образуемые не только отрезками, но и параллельными прямыми. Мы такие цилиндры в школьном курсе не рассматриваем.
  2. Цилиндру можно дать и другое определение. Пусть в плоскости а задана фигура F, не лежащая на прямой, и из всех её точек проходят в одну сторону (в одно полупространство) от плоскости а равные и параллельные отрезки. Образуемая ими фигура будет цилиндром с основанием F. Концы этих отрезков будут лежать на плоскости α', параллельной плоскости α (задача 14.1).

Итак, цилиндр можно определить как фигуру, образованную равными и параллельными отрезками; эти отрезки идут из всех точек плоской фигуры (здесь имеются в виду основания цилиндра) в одну сторону от её плоскости.

18.3 Цилиндр вращения

Рассмотрим прямой цилиндр, основание которого — круг (рис. 157, а), т. е. прямой круговой цилиндр. Отрезок, соединяющий центры его оснований, называется осью цилиндра. Покажем, что ось прямого кругового цилиндра является его осью вращения, а сам он — фигурой вращения.

Рис. 157

Действительно, все сечения прямого кругового цилиндра плоскостями, параллельными плоскостям оснований, являются кругами с центрами на оси (по свойству 3 п. 18.1). Плоскости этих кругов перпендикулярны оси (рис. 157, б). Поэтому прямой круговой цилиндр является фигурой вращения и его называют также цилиндром вращения. Он получается вращением прямоугольника вокруг его стороны (рис. 157, в), а также вращением прямоугольника вокруг своей оси симметрии. В последнем случае этот прямоугольник является осевым сечением цилиндра вращения (рис. 157, г).

Образующие цилиндра вращения, исходящие из точек окружности основания, образуют его боковую поверхность. Она сама является цилиндром, основанием которого служит окружность. Боковая поверхность тоже будет фигурой вращения.

Поверхностью цилиндра вращения называется объединение его оснований и боковой поверхности. (Напомним, что объединением данных фигур называется фигура, которой принадлежат все точки этих фигур, и никакие другие.)

Цилиндр вращения симметричен относительно любой плоскости, проходящей через его ось (рис. 158, а), а также относительно плоскости, делящей пополам его образующие (рис. 158, б). Цилиндр вращения имеет центр симметрии — середину его оси (рис. 158, в). Цилиндр вращения является объединением всех равных друг другу прямоугольников с общей осью симметрии — своих осевых сечений.

Рис. 158

18.4 Цилиндры в практике

Предметы, имеющие более или менее точную форму цилиндра, а также такие, у которых есть цилиндрические части, встречаются повсеместно — в быту, в технике — и играют важнейшую роль. Оси автомобилей и вагонов, цилиндры и поршни двигателей, втулки и т. д. — все они имеют главные части в виде прямых круговых цилиндров. Стальные трубы представляют собой прямые цилиндры с тонким круговым кольцом в основании.

Под цилиндрами понимают обычно круглые предметы, но если иметь в виду цилиндры в нашем общем смысле, то имеется множество других примеров. Рельсы, различные виды проката, бетонные желоба и другие изделия имеют разнообразные формы цилиндров (хотя и не круглых, рис. 159, а).

Рис. 159

В быту как пример цилиндра приводят круглый стакан. Но это не совсем точно. Стакан имеет дно; если оно ровное, то можно считать, что стакан состоит из двух цилиндров: один представляет его стенки, другой — его дно. Чай в круглом стакане — пример кругового цилиндра. Заметим ещё, что плоское сечение боковой поверхности цилиндра вращения является эллипсом. Наклонив круглый стакан с водой, вы видите эллипс (рис. 159, б).

Вопросы для самоконтроля

  1. Какие вы знаете определения цилиндра?
  2. Какие виды цилиндров вам известны?
  3. Какие вы знаете свойства цилиндра? цилиндра вращения?


Рейтинг@Mail.ru