Геометрия
10-11 классы

Задачи к § 18

В задачах слово «цилиндр» везде означает «цилиндр вращения».

  • 18.1. Какой фигурой является сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси?
  • 18.2. Докажите, что около цилиндра можно описать сферу. Это означает, что найдётся сфера, на которой лежат окружности двух оснований цилиндра. Цилиндр в таком случае называется вписанным в сферу, а сфера — описанной около цилиндра.
  • 18.3. Говорят, что сфера вписана в цилиндр, если она касается его оснований, а с боковой поверхностью цилиндра имеет общую окружность. Выясните, в какой цилиндр можно вписать сферу.
  • 18.4. Какой фигурой является проекция цилиндра на плоскость:
    • а) параллельную его оси;
    • б) перпендикулярную его оси?
  • 18.5. Осевое сечение цилиндра — квадрат (такой цилиндр называется равносторонним).
    1. Сравните площадь осевого сечения с площадью:
      • а) основания;
      • б) квадрата, описанного около основания.
    2. Во сколько раз площадь осевого сечения больше площади квадрата, вписанного в основание?
    3. Объясните, почему сферу можно вписать только в такой цилиндр.
  • 18.6. Диагональ осевого сечения цилиндра равна d и составляет с плоскостью основания угол ср. Каковы размеры цилиндра (радиус его основания и высота)?
  • 18.7. Исследуем Два сечения цилиндра параллельны его оси и пересекаются. Как расположен их общий отрезок по отношению к плоскостям оснований?
  • 18.8. Дан цилиндр с радиусом основания R и высотой Н. Параллельно его оси проводится сечение цилиндра. Выразите его площадь и периметр как функции от х, где х — расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения.
  • 18.9. В сферу радиуса R вписан цилиндр,
    • а) Нарисуйте осевое сечение этой фигуры,
    • б) Чему равна диагональ его осевого сечения?
    • в) Какой из таких цилиндров имеет наибольшую площадь осевого сечения?
  • 18.10. Дан цилиндр радиуса Я. Его кладут в щель шириной d так, что его ось параллельна краям щели. На сколько он углубится в эту щель?
  • 18.11. Две пересекающиеся плоскости, опорные к цилиндру радиуса Я, проходят через образующие его поверхности. Чему равно расстояние от прямой пересечения этих плоскостей до оси цилиндра, если угол между этими плоскостями:
    • а) 90°;
    • б) φ?
  • 18.12. Как плоским разрезом можно разбить цилиндр на две равные части?


Рейтинг@Mail.ru