Учебник для 6 класса

Математика

       

45. Координатная плоскость

Места в зрительном зале кинотеатра задают двумя числами: первым числом обозначают номер ряда, а вторым — номер кресла в этом ряду (см. рис. на форзаце). При этом места (3; 8) и (8; 3) различны: первое является креслом № 8 в третьем ряду, а второе — креслом № 3 в восьмом ряду.

Подобным образом можно обозначить и положение точки на плоскости. Для этой цели на плоскости проводят две перпендикулярные координатные прямые — х и у, которые пересекаются в начале отсчёта — точке О (рис. 113). Эти прямые называют системой координат на плоскости, а точку О — началом координат. Плоскость, на которой выбрана система координат, называют координатной плоскостью.

Рис. 113

Пусть М — некоторая точка координатной плоскости (рис. 113). Проведём через неё прямую МА, перпендикулярную координатной прямой х, и прямую MB, перпендикулярную координатной прямой у. Так как точка А имеет координату 6, а точка В — координату -5, то положение точки М определяется парой чисел (6; -5). Эту пару чисел называют координатами точки М. Число 6 называют абсциссой точки М, а число -5 называют ординатой точки М. Координатную прямую х называют осью абсцисс, а координатную прямую у — осью ординат.

Точку М с абсциссой 6 и ординатой -5 обозначают так: М(6; -5). При этом всегда на первом месте пишут абсциссу точки, а на втором — её ординату. Если переставить координаты местами, то получится другая точка — N(-5; 6), которая показана на рисунке 113.

Каждой точке М на координатной плоскости соответствует пара чисел: её абсцисса и ордината. Наоборот, каждой паре чисел соответствует одна точка плоскости, для которой эти числа являются координатами. На рисунке 114 показано, как попасть в точку С с координатами (-4; -3): сначала надо пройти по оси х от начала отсчёта влево на 4 единицы, а потом — на 3 единицы вниз.

Рис. 114

В географии положение точек на земной поверхности тоже определяют двумя числами — географическими координатами: широтой и долготой.

Вопросы для самопроверки

  • Под каким углом пересекаются координатные прямые х и у, образующие систему координат на плоскости? Как называют каждую из этих прямых? Как называют точку пересечения этих прямых?
  • Как называют пару чисел, определяющих положение точки на плоскости? Как называют первое число? Как называют второе число?
  • Расскажите, как найти абсциссу и ординату точки на координатной плоскости. Расскажите, как построить точку по её координатам.

Выполните упражнения

1390. По рисунку 115 определите, сколько клеток надо пройти слева направо и сколько — снизу вверх, чтобы попасть из точки О в точки М, К, Р и N.

Рис. 115

1391. Шестиклассники участвовали в спортивной игре. Сначала звено было в точке О (рис. 116). Командир звена получил приказ: «Идите на восток 5 км, а затем на север 4 км». Назовите координаты точки B, в которую должно попасть это звено. Сформулируйте приказы для других звеньев, которые должны попасть из точки О в точки С, D, Е, К, М, N. Назовите координаты этих точек.

Рис. 116

1392. Возьмите географическую карту и назовите широту и долготу городов: Москвы, Киева, Алма-Аты.

Запись М(-2; 7) читают так:

    — точка эм с абсциссой минус два и ординатой семь,

    — точка эм с координатами минус два и семь,

    — координаты точки эм — пара чисел минус два и семь.

1393. Постройте координатные прямые х и у и отметьте точки А(2; 8), В(3; -4), С(-4; 5), D(-3; -7), E(0; 5), М(0; -4), K(6; 0), Р(-7; 0).

1394. Найдите координаты точек А, В, С и D (рис. 117).

Рис. 117

1395. У каких точек на координатной плоскости абсцисса равна нулю? У каких точек равна нулю ордината? Какая точка имеет координаты (0; 0)?

1396. Где расположены на координатной плоскости точки, абсцисса которых равна 4? А где расположены точки, ордината которых равна -1?

1397. Изобразите на координатной плоскости точки А(-2; -2), В(-1; -1), С(0; 0), D(1; 1), Е(2; 2). Проверьте с помощью линейки, лежат ли эти точки на одной прямой и лежит ли на этой прямой точка М(-5; 5).

1398. Постройте на координатной плоскости четырёхугольник ABCD, если А(-10; -2), В(-2; -2), С(-2; -6), D(-10; -6). Является ли он прямоугольником? квадратом? Найдите периметр и площадь этого четырёхугольника, если единичный отрезок равен 1 см. Проведите отрезки АС и BD и найдите координаты точки пересечения Е этих отрезков.

1399. Постройте треугольник ОВС, где O(0; 0), В(4; 6), С(1; 5).

1400. На миллиметровой бумаге (рис. 118) отмечены точки А, В, С, D, Е, F, К и М. Найдите их координаты.

Рис. 118

1401. В координатной плоскости проведена линия (рис. 119). Найдите на этой линии точку;

  • а) абсцисса которой равна 2; 1,7; -1,2;
  • б) ордината которой равна 1,8; 2,1; -1,6; -2,5; -3,2.

Рис. 119

1402. Даны точки А(1; 3), В(-1; 4), С(7; -5), D(0; 6). Какие из этих точек расположены:

  • а) выше оси абсцисс;
  • б) левее оси ординат?

1403. Вычислите устно:

1404. Что больше: х или х2? х2 или х3?

1405. Найдите все дроби со знаменателем 15, которые больше и меньше 1.

1406. Числа 90 и 100 разделили на одно и то же число. В первом случае получили остаток 18, а во втором случае — остаток 4. Найдите делитель.

1407. Из корзины взяли 6 яблок, затем треть остатка и ещё 6 яблок. После этого в корзине осталась половина первоначального числа яблок. Сколько яблок было в корзине?

1408. Попробуйте найти простой способ для вычисления значения выражения:

1409. Начертите какой-нибудь треугольник ABC. Через вершину С проведите прямую l, параллельную стороне АВ, и прямую m, перпендикулярную стороне АВ.

1410. Найдите длину окружности, радиус которой 7 см; 0,7 см; 0,14 см, приняв π ≈ .

1411. Найдите радиус окружности, длина которой 6,28 мм; 3,14 см; 0,0628 м, приняв π = 3,14.

1412. Вычислите:

1413. Найдите объём и площадь поверхности куба, ребро которого равно: а) 4 см; б) 0,2 м.

1414. Решите уравнение:

  1. 0,8 • (9 + 2х) = 0,5 • (2 - 3*);
  2. 0,5 • (x + 3) = 0,8 • (10 - х).

1415. Решите задачу:

  1. На заводе производится смена оборудования. После того как 51 станок заменили новыми, осталось заменить ещё 83 % станков. Сколько всего станков на заводе надо было заменить новыми?
  2. Купили пачку бумаги. После того как израсходовали 30 листов, осталось 85% пачки. Сколько листов бумаги было в пачке?

1416. Решите уравнение:

  1. (13,4 - y) • 4,3 - 20,05 = 78,05 + 6,7у;
  2. (16,2 - х) • 3,2 - 50,08 = -8,12 - 5,1x.

1417. Постройте ломаные линии ABCDE и MNK по координатам точек А(-6; 2), В(-4; 6), С(1; 1), D(2; -5), E(8; -1) и М(-5; -5), N(-1; 7), К(8; 4). Найдите координаты точек пересечения ломаных ABCDE и MNK.

1418. Постройте четырёхугольник ABCD по координатам его вершин А(-8; 6), В(6; 5), C(1; -3), D(-7; 1). Найдите координаты точки пересечения отрезков АС и BD.

1419. Отметьте на координатной плоскости точки М(0; 5), N(8; 1), С (2; 2), В(-6; -2). Найдите координаты точки пересечения прямых MN и CD. На какой из этих прямых лежит точка K(0; 1)?

1420. Постройте треугольник AВК по координатам его вершин А(-2; -2), В(1; 5), К(6; -2). Найдите координаты точки пересечения стороны АК с осью ординат.

1421. Решите уравнение:

  • а) -3,7 • (2,5x - 7,6) = -3,66 + 2,1х;
  • б) 0,4 • (y - 0,6) = 0,5 • (у - 0,8) + 0,08.

1422. Отметьте точку М и проведите через неё две прямые — m и l — так, чтобы они образовали угол, равный 62°.

1423. Постройте угол COD, равный 50°. Через точку М, лежащую на стороне OD, проведите прямую m, параллельную стороне ОС, а через точку К, лежащую на стороне ОС, проведите прямую n, параллельную стороне OD. Измерьте транспортиром углы, образовавшиеся при пересечении прямых m и n.

1424. Найдите значение выражения:

  • а) -3,8 (4 - 4,9) + 13,4 (3 - 2,8);
  • б) -3,636 : 0,6 + 2,6(5 - 1,1).

 

Top.Mail.Ru
Рейтинг@Mail.ru