Геометрия

§ 1. Синус, косинус, тангенс, котангенс угла

В этой главе получит дальнейшее развитие тригонометрически аппарат геометрии — синус, косинус, тангенс и котангенс будут определены для углов от 0° до 180°. Это даст возможность вывести формулы, связывающие между собой стороны и углы произвольного треугольника. Утверждения об этих формулах называются теоремой синусов и теоремой косинусов.

Они широко используются как в самой геометрии, так и в её приложениях, в частности при проведении измерительных работ на местности. Кроме того, в этой главе вводится ещё одно действие над векторами — скалярное умножение векторов. С одной стороны, оно расширяет наши возможности в применении координатно-векторного метода при решении геометрических задач, а с другой — используется в физике для описания физических величин.

Введём прямоугольную систему координат Оху и построим полуокружность радиуса 1 с центром в начале координат, расположенную в первом и втором квадрантах (рис. 290). Назовём её единичной полуокружностью. Из точки О проведём луч h, пересекающий единичную полуокружность в точке М (x; у). Обозначим буквой α угол между лучом h и положительной полуосью абсцисс (если луч h совпадает с положительной полуосью абсцисс, то будем считать, что α = 0°).

Рис. 290

Если угол а острый, то из прямоугольного треугольника DOM (см. рис. 290) имеем

Но ОМ = 1, MD = у, OD = х, поэтому

sin α = у, cos α = х. (1)

Итак, синус острого угла α равен ординате у точки М, а косинус угла α — абсциссе х точки М. Если угол α прямой, тупой или развёрнутый (углы АОС, AON и АОВ на рисунке 290) или α = 0°, то синус и косинус угла α также определим по формулам (1). Таким образом, для любого угла а из промежутка 0° ≤ α ≤ 180° синусом угла α называется ордината у точки М, а косинусом угла α — абсцисса х точки М. Так как координаты (x; у) точек единичной полуокружности заключены в промежутках 0≤ у ≤ 1, -1 ≤ x ≤ 1, то для любого α из промежутка 0° ≤ α ≤ 180° справедливы неравенства

0 ≤ sin α ≤ 1, -1 ≤ cos α ≤ 1.

Найдём значения синуса и косинуса для углов 0°, 90° и 180°. Для этого рассмотрим лучи О А, ОС и ОВ, соответствующие этим углам (см. рис. 290). Так как точки А, С и В имеют координаты А (1; 0), С (0; 1), В (-1; 0), то

sin 0° = 0, sin 90° = 1, sin 180° = 0, (2)
cos 0° = 1, cos 90° = 0, cos 180° = -1.

Тангенсом угла α (α ≠ 90°) называется отношение , т. e.

При α = 90° tg α не определён, поскольку cos 90° = 0, и в формуле (3) знаменатель обращается в нуль. Используя формулы (2), находим: tg 0° = 0, tg 180° = 0.

Котангенсом угла α (0° ≤ α ≤ 180°) называется отношение Котангенс угла а обозначает α ется символом ctg α. Таким образом,

При α = 0° и α =180° ctg α не определён. Исходя из формул (2), получаем: ctg 90° = 0.

Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения

На рисунке 290 изображены система координат Оху и единичная полуокружность АСВ с центром О. Эта полуокружность является дугой окружности, уравнение которой имеет вид х² + у² = 1. Подставив сюда выражения для х и у из формул (1), получим равенство

sin² α + cos² α = 1, (4)

которое выполняется для любого α из промежутка 0° ≤ α ≤ 180°. Равенство (4) называется основным тригонометрическим тождеством. В 7 классе оно было доказано для острых углов.

Справедливы также следующие тождества:

sin (90° - α) = cos α, cos (90° - α) = sin α

при 0° ≤ a ≤ 90°,

sin (180° - α) = sin α, cos (180° - α) = -cos α

при 0° ≤ a ≤ 180°.

Они называются формулами приведения и доказываются в курсе алгебры.

Формулы для вычисления координат точки

Пусть задана система координат Оху и дана произвольная точка А (x; у) с неотрицательной ординатой у (рис. 291). Выразим координаты точки А через длину отрезка О А и угол а между лучом ОА и положительной полуосью Ох. Для этого обозначим буквой М точку пересечения луча ОА с единичной полуокружностью.

По формулам (1) координаты точки М соответственно равны cos α, sin α. Вектор имеет те же координаты, что и точка М, т. е. {cos α; sin α}. Вектор имеет те же координаты, что и точка А, т. е. {x; у}. Но (объясните почему), поэтому

х = ОА • cos α, у = ОА • sin α.

Рис. 291

Задачи

1011. Ответьте на вопросы: а) Может ли абсцисса точки единичной полуокружности иметь значения 0,3; 1/3; -1/3; 1 2/3; -2,8? б) Может ли ордината точки единичной полуокружности иметь значения 0,6; 1/7; -0,3; 7; 1,002? Ответы обоснуйте.

1012. Проверьте, что точки M₁ (0; 1), А (1; 0), В (-1; 0) лежат на единичной полуокружности. Выпишите значения синуса, косинуса и тангенса углов АОМ₁, АОМ₂, АОМ₃, АОМ₄, АОВ.