Геометрия
10-11 классы

       

§ 22. Пирамида

22.1 Пирамида — частный случай конуса

Что такое пирамида, нам уже известно. О том, как построить пирамиду, было сказано в п. 5.5. Из этого построения видно, что пирамида является конусом, основание которого — многоугольник. Поэтому можно дать такое определение: пирамидой называется конус, основание которого — многоугольник (см. рис. 67).

Боковая поверхность пирамиды состоит из всех её образующих, которые соединяют вершину с точками на границе основания. Ясно, что боковая поверхность состоит из треугольников, имеющих общую точку — вершину пирамиды. Эти треугольники называются боковыми гранями, а их стороны, не лежащие в основании, — боковыми рёбрами пирамиды.

Поверхность пирамиды состоит из основания пирамиды и её боковой поверхности.

Усечённая пирамида получается так же, как получается усечённый конус из конуса: отсечением меньшей пирамиды плоскостью, параллельной основанию исходной пирамиды. Всё сказанное об усечённом конусе относится и к усечённым пирамидам (рис. 193).

Рис. 193

22.2 Правильная пирамида

Напомним, что пирамида называется правильной, если её основание — правильный многоугольник и все её боковые рёбра равны. Поэтому все боковые грани правильной пирамиды — равные равнобедренные треугольники с вершиной в вершине пирамиды. (Напомним, что правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр не одно и то же. Правильный тетраэдр является правильной треугольной пирамидой, но не наоборот!)

Согласно данному определению правильной пирамиды о любой пирамиде по её внешнему виду можно судить, правильная она или нет: достаточно произвести необходимые измерения на её гранях. Но это определение, как уже отмечалось в п. 5.5, не даёт способа построения правильных пирамид.

Ответ на этот вопрос мы получим, установив в следующей теореме характерное свойство правильной пирамиды.

Теорема 26 (о правильной пирамиде). Пирамида является правильной тогда и только тогда, когда её основание — правильный многоугольник, а вершина проектируется в центр основания.

Доказательство. Пусть Т — правильная пирамида с вершиной Р и основанием F. Опустим из точки Р перпендикуляр РО на плоскость α основания F. Возьмём любые две вершины А и В основания F и проведём отрезки О А и ОБ, получим прямоугольные треугольники РОА и РОВ (рис. 194). Эти треугольники равны, так как они имеют равные гипотенузы РА и РВ и общий катет РО. Следовательно, равны и другие их катеты, т. е. ОА = ОВ. Итак, проекция вершины Р пирамиды Т на плоскость а равноудалена от всех вершин правильного многоугольника F. Поэтому точка О является центром многоугольника F.

Рис. 194

Итак, доказано, что вершина правильной пирамиды проектируется в центр её основания.

Рассмотрим теперь пирамиду Т, основание которой — правильный многоугольник F и вершина которой Р проектируется в его центр — точку О. Снова берём две произвольные вершины А и В основания F и рассматриваем прямоугольные треугольники РОА и РОВ. Теперь в этих треугольниках общий катет РО и равные катеты О А и ОБ (поскольку О — центр правильного многоугольника F). Следовательно, опять ∠РОА = ∠РОВ. Поэтому РА = РВ. Значит, все боковые рёбра пирамиды Т равны, т. е. пирамида Т правильная.

Доказанная теорема показывает, что правильную пирамиду можно определить как такую пирамиду, у которой основание — правильный многоугольник и вершина проектируется в его центр.

Теперь ясно, как построить правильную пирамиду. Надо взять правильный многоугольник F и из его центра О провести какой-нибудь перпендикуляр ОР к плоскости многоугольника F. Точка Р будет вершиной правильной пирамиды, а многоугольник F — основанием этой пирамиды.

У правильной n-угольной пирамиды n плоскостей симметрии. Они проходят через вершину пирамиды и оси симметрии её основания (рис. 195). При отражении в такой плоскости вершина пирамиды остаётся на месте, а основание совмещается само с собой. Поэтому и пирамида совмещается сама с собой.

Рис. 195

Многие архитектурные сооружения представляют собой сочетания правильных призм и пирамид (рис. 196).

Рис. 196

Вопросы для самоконтроля

  1. Какие вы знаете определения пирамиды?
  2. Какие вы знаете виды пирамид?
  3. Какие вы знаете свойства правильной пирамиды?

 

Top.Mail.Ru
Рейтинг@Mail.ru