Геометрия
10-11 классы

       

Задачи к § 22

  • 22.1. Докажите, что в правильной треугольной (четырёхугольной) пирамиде:
    • а) проекция высоты на боковую грань лежит на апофеме пирамиды;
    • б) угол между боковым ребром и плоскостью основания один и тот же для всех боковых рёбер;
    • в) угол между боковой гранью и основанием один и тот же для всех боковых граней;
    • г) все углы между соседними боковыми гранями равны.

    (Апофема правильной пирамиды — это высота в боковой её грани, проведённая из вершины пирамиды.)

  • 22.2.
    • a) Докажите, что вокруг правильной n-угольной пирамиды можно описать сферу (для n = 3 и n = 4).
    • б) Докажите, что в правильную n-угольную пирамиду можно вписать сферу (для n = 3 и n = 4).
  • 22.3. В правильной n-угольной пирамиде (n = 3 и n = 4) известны сторона основания и плоский угол при вершине. Как найти:
    • а) высоту пирамиды;
    • б) радиус описанной сферы;
    • в) радиус вписанной сферы;
    • г) угол между боковым ребром и плоскостью основания;
    • д) угол между боковой гранью и основанием;
    • е) угол между соседними боковыми гранями?
  • 22.4. В правильной треугольной (четырёхугольной) пирамиде известны сторона основания и боковое ребро. Как найти:
    • а) высоту пирамиды;
    • б) угол между боковым ребром и основанием;
    • в) угол между боковой гранью и основанием?
  • 22.5. Сколько вершин, рёбер и граней имеет:
    • а) n-угольная пирамида;
    • б) n-угольная усечённая пирамида?
  • 22.6. Нарисуйте проекцию правильной треугольной пирамиды на плоскость:
    • а) основания;
    • б) проходящую через боковое ребро и высоту.
  • 22.7. В правильной треугольной пирамиде известны сторона основания и высота. Как вычислить площадь сечения, проходящего:
    • а) параллельно основанию через середину высоты;
    • б) через боковое ребро и высоту;
    • в) через сторону основания перпендикулярно боковому ребру;
    • г) через центр основания параллельно боковой грани;
    • д) через середины четырёх рёбер?
  • 22.8. Нарисуйте проекцию правильной четырёхугольной пирамиды на плоскость:
    • а) основания;
    • б) проходящую через апофемы противоположных граней;
    • в) боковой грани.
  • 22.9. В правильной четырёхугольной пирамиде известны сторона основания и высота. Как вычислить площадь сечения, проходящего через:
    • а) середину высоты параллельно основанию;
    • б) диагональ основания перпендикулярно боковому ребру;
    • в) диагональ основания параллельно боковому ребру;
    • г) центр основания параллельно боковой грани;
    • д) сторону основания перпендикулярно противоположной боковой грани?

    Решение. д) Пусть PABCD — правильная четырёхугольная пирамида со стороной основания а и высотой PO = h (рис. 197, а). Проведём через CD сечение, плоскость которого перпендикулярна грани РАВ. Плоскость этого сечения содержит все перпендикуляры, опущенные из точек ребра CD на плоскость грани РАВ (почему?). В частности, она содержит перпендикуляр LM, проведённый из середины L ребра CD на плоскость грани РАВ. Он является высотой треугольника PKL, где точка К — середина ребра АВ (почему?).

    Рис. 197

    Рассмотрим основной случай, когда точка М лежит внутри высоты РК треугольника РАВ. (Если М = Р, то сечение — грань PCD, а если М вне РК, то сечение вырождается в отрезок CD.) Если М лежит внутри РК, то в сечении получаем трапецию CDD1C1. Действительно, C1D1||CD (поскольку CD||(PAB)) и C1D1 < CD. Высотой этой трапеции является отрезок LM (почему?). Значит, её площадь S вычисляется так:

    Найдём LM и C1D1. Поскольку KL • PO = LM • PK (рис. 197,6), то

    При этом

    Далее, C1D1 : АВ = РМ : РК. Поэтому

    Отрезок РМ находим как разность РМ = РК - КМ. Используем подобие треугольников KML и КОР, находим КМ из пропорции

    в которой KL = a, КО = a/2, а РК также известно. Подставьте найденные величины в равенство (1) и найдите формулу для площади S. Заметим, что точка М лежит внутри отрезка РК, если ∠PKO > 45°, т. е. когда Н > a/2.

     

Top.Mail.Ru
Рейтинг@Mail.ru