Геометрия
7-9 классы

Вопросы для повторения к главе IV

1. Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов треугольника.

2. Какой угол называется внешним углом треугольника? Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

3. Докажите, что в любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой.

4. Какой треугольник называется остроугольным? Какой треугольник называется тупоугольным?

5. Какой треугольник называется прямоугольным? Как называются стороны прямоугольного треугольника?

6. Докажите, что в треугольнике:

    1) против большей стороны лежит больший угол;
    2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.

7. Докажите, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

8. Докажите, что если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

9. Докажите, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Что такое неравенство треугольника?

10. Докажите, что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

11. Докажите, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

12. Сформулируйте и докажите утверждение о признаке равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу.

13. Сформулируйте и докажите утверждение о признаке равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.

14. Объясните, какой отрезок называется наклонной, проведённой из данной точки к данной прямой.

15. Докажите, что перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой.

16. Что называется расстоянием от точки до прямой?

17. Докажите, что все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

18. Что называется расстоянием между двумя параллельными прямыми?

19. Докажите, что множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону от неё, есть прямая, параллельная данной прямой.

20. Что такое геометрическое место точек? Приведите пример.

21. Объясните, как построить треугольник:

    а) по двум сторонам и углу между ними;
    б) по стороне и двум прилежащим к ней углам.

22. Объясните, как построить треугольник по трём сторонам. Всегда ли эта задача имеет решение?

Дополнительные задачи

296. В равнобедренном треугольнике АВС биссектрисы равных углов В и С пересекаются в точке О. Докажите, что угол ВОС равен внешнему углу треугольника при вершине В.

297. На стороне AD треугольника ADC отмечена точка В так, что BC = BD. Докажите, что прямая DC параллельна биссектрисе угла АВС.

298. На рисунке 145 AD || BE, АС = AD и ВС = ВЕ. Докажите, что угол DCE — прямой.


Рис. 145

299. На рисунке 146 АВ = АС, АР = PQ = QR = RB = BC. Найдите угол А.


Рис. 146

300. Докажите, что в тупоугольном треугольнике основание высоты, проведённой из вершины тупого угла, лежит на стороне треугольника, а основания высот, проведённых из вершин острых углов, — на продолжениях сторон.

301. Из точки А к прямой а проведены перпендикуляр АН и наклонные АМ1 и АМ2. Докажите, что:

    а) если НМ1 = НМ2, то АМ1 = АМ2;
    б) если НМ1 < НМ2, то АМ1 < АМ2.

302. Из точки А к прямой а проведены перпендикуляр АН и наклонные АМ1 и АМ2. Докажите, что:

    а) если АМ1 = АМ2, то НМ1 = НМ2,
    б) если АМ1 < AM2, то НМ1 < НМ2.

303. Докажите, что в треугольнике АВС медиана AM меньше полусуммы сторон АВ и АС.

304. Докажите, что если точка М лежит внутри треугольника АВС, то МВ + МС < АВ + АС.

305. Докажите, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри треугольника, до его вершин меньше периметра треугольника.

306. Докажите, что если АВ = АС + СВ, то точки А, В и С лежат на одной прямой.

307. В прямоугольном треугольнике проведена высота из вершины прямого угла. Докажите, что данный треугольник и два образовавшихся треугольника имеют соответственно равные углы.

308. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС, равным 37 см, внешний угол при вершине В равен 60°. Найдите расстояние от вершины С до прямой АВ.

309. В треугольнике с неравными сторонами АВ и АС проведены высота АН и биссектриса AD. Докажите, что угол HAD равен полуразности углов В и С.

310. Докажите, что в равных треугольниках высоты, проведённые к равным сторонам, равны.

311. Что представляет собой множество всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от двух данных пересекающихся прямых?

312. Отрезок соединяет вершину треугольника с точкой, лежащей на противоположной стороне. Докажите, что этот отрезок меньше большей из двух других сторон.

313. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне.

314. Постройте прямоугольный треугольник по:

    а) гипотенузе и острому углу;
    б) катету и противолежащему углу;
    в) гипотенузе и катету.

315. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный:

    а) 30°; б) 60°; в) 15°; г) 120°; д) 150°; е) 135°; ж) 165°; з) 75°; и) 105°.

316. Постройте треугольник по стороне, высоте, проведённой к ней, и медиане, проведённой к одной из двух других сторон.

317. Дан треугольник АВС. Постройте отрезок DE, параллельный прямой АС, так, чтобы точки D и Е лежали на сторонах АВ и ВС и DE = AD + СЕ.

318. Дан равносторонний треугольник АВС и точка В1 на стороне АС. На сторонах ВС и АВ постройте точки А1 и С1 так, чтобы треугольник А1В1С1 был равносторонним.

319. Постройте треугольник по углу, высоте и биссектрисе, проведённым из вершины этого угла.

320. Постройте треугольник по стороне, высоте и медиане, проведённым к этой стороне.

321. Дан треугольник АВС с прямым углом А. На стороне АВ постройте точку М, находящуюся на расстоянии AM от прямой ВС.

Ответы к задачам

299. 20°.

300. Указание. Доказательство провести методом от противного.

302. Указание, а) Допустить, что HМ1 ≠ НМ2, и воспользоваться задачей 301; б) допустить, что НМ1 > НМ2 или НМ1 = НМ2, и воспользоваться задачей 301.

303. Указание. Продолжить медиану AM за точку М на отрезок MD, равный AM, и рассмотреть треугольник ABD.

304. Указание. Пусть N — точка пересечения прямой ВМ и отрезка АС. Применить теорему о неравенстве треугольника к треугольникам ABN и MNC.

305. Указание. Воспользоваться предыдущей задачей.

306. Указание. Доказать методом от противного.

308. 18,5 см.

311. Две прямые, содержащие биссектрисы углов, образованных при пересечении данных прямых.

312. Указание. Пусть в треугольнике АВС АС > АВ, а AM — данный отрезок. Учесть, что в треугольнике ACM ∠C < ∠M.

313. Указание. Пусть ΔАВС — искомый, ВМ — его данная медиана. Сначала построить ΔВВ1С, в котором точка М — середина стороны ВВ1.

314. б) Указание. Построить угол, равный данному, а затем воспользоваться задачей 284.

315. а) Указание. Воспользоваться свойством 3 п. 35 и задачей 314, в.

316. Указание. Воспользоваться задачей 282.

317. Указание. Воспользоваться задачей 245.

318. Указание. На сторонах ВС и АВ построить точки А1 и С1, так, чтобы ВА1 = АС1 = СВ1.

319. Указание. Если данные отрезки не равны друг другу, то сначала построить прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна данной биссектрисе, а катет — данной высоте.

320. Указание. Сначала построить прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна данной медиане, а катет — данной высоте.

321. Указание. Сначала построить биссектрису угла С.


Рейтинг@Mail.ru