Геометрия
7-9 классы

§ 4. Построение треугольника по трём элементам

Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми

Расстоянием между двумя точками мы назвали длину отрезка, соединяющего эти точки. Введём теперь понятия расстояния от точки до прямой и расстояния между параллельными прямыми.

Пусть отрезок АН — перпендикуляр, проведённый из точки А к прямой а, М — любая точка прямой а, отличная от Н (рис. 136). Отрезок AM называется наклонной, проведённой из точки А к прямой а. В прямоугольном треугольнике АНМ катет АН меньше гипотенузы AM.


Рис. 136

Следовательно, перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой.

Длина перпендикуляра, проведённого из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой.

Отметим, что расстояние от точки до прямой равно наименьшему из расстояний от этой точки до точек прямой.

На рисунке 137 расстояние от точки В до прямой р равно 3 см, а расстояние от точки С до этой прямой равно 5 см.


Рис. 137

Прежде чем ввести понятие расстояния между параллельными прямыми, рассмотрим одно из важнейших свойств параллельных прямых.

Теорема

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Доказательство

Рассмотрим параллельные прямые а и B. Отметим на прямой а точку А и проведём из этой точки перпендикуляр АВ к прямой B (рис. 138). Докажем, что расстояние от любой точки X прямой а до прямой b равно АВ.


Рис. 138

Проведём из точки X перпендикуляр ХУ к прямой B. Так как ХY ⊥ b, то ХY ⊥ a. Прямоугольные треугольники ABY и YXA равны по гипотенузе и острому углу (AY — общая гипотенуза, а углы 1 и 2 равны как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых а и B секущей AY). Следовательно, ХY = АВ.

Итак, любая точка X прямой а находится на расстоянии АВ от прямой B. Очевидно, все точки прямой b находятся на таком же расстоянии от прямой а. Теорема доказана.

Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми (окончание)

Из доказанной теоремы следует, что точка, движущаяся по одной из параллельных прямых, всё время находится на одном и том же расстоянии от другой прямой.

Расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой называется расстоянием между этими прямыми.

Отметим, что расстояние между параллельными прямыми равно наименьшему из расстояний от точек одной прямой до точек другой прямой.

Замечание 1

Справедливо утверждение, обратное доказанной теореме: все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудалённые от неё, лежат на прямой, параллельной данной. (Докажите это самостоятельно.)

Замечание 2

Из доказанной теоремы и ей обратной следует, что множество всех точек плоскости, народящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону от неё, есть прямая, параллельная данной прямой.

В самом деле, пусть а — данная прямая, d — данное расстояние. Отметим на прямой а произвольную точку А и проведём отрезок АВ длины d, перпендикулярный к прямой а; через точку В проведём прямую B, параллельную прямой а (сделайте соответствующий рисунок). По доказанной теореме все точки прямой B находятся на расстоянии d от прямой а, т. е. все они принадлежат искомому множеству. В силу обратной теоремы любая точка искомого множества лежит на прямой B. Таким образом, искомым множеством является прямая B.

Множество всех точек, удовлетворяющих какому-либо условию, иногда называют геометрическим местом точек, удовлетворяющих этому условию. Можно сказать тем самым, что геометрическое место точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону от неё, есть прямая, параллельная данной прямой.

На этом факте основано устройство инструмента, называемого рейсмусом (рис. 139, а). Рейсмус используется в столярном деле для разметки на поверхности деревянного бруска прямой, параллельной краю бруска. При передвижении рейсмуса вдоль края бруска металлическая игла прочерчивает отрезок прямой, параллельный краю бруска (рис. 139, б).


Рис. 139

Построение треугольника по трём элементам

Задача 1

Построить треугольник по двум сторонам и Углу между ними.

Решение

Прежде всего уточним, как нужно понимать эту задачу, т. е. что здесь дано и что нужно построить.

Даны отрезки P1Q1, P2Q2 и угол hk (рис. 140, а). Требуется с помощью циркуля и линейки (без масштабных делений) построить такой треугольник АВС, у которого две стороны, скажем АВ и АС, равны данным отрезкам P1Q1 и P2Q2, а угол А между этими сторонами равен данному углу hk.

Проведём прямую а и на ней с помощью циркуля отложим отрезок АВ, равный отрезку P1Q1 (рис. 140, б). Затем построим угол ВАМ, равный данному углу hk (как это сделать, мы знаем). На луче AM отложим отрезок АС, равный отрезку P2Q2, и проведём отрезок ВС. Построенный треугольник АВС — искомый.


Рис. 140

В самом деле, по построению АВ = P1Q1, АС = P2Q2, A = hk.

Описанный ход построения показывает, что при любых данных отрезках P1Q1, P2Q2 и данном неразвёрнутом угле hk искомый треугольник построить можно. Так как прямую а и точку А на ней можно выбрать произвольно, то существует бесконечно много треугольников, удовлетворяющих условиям задачи. Все эти треугольники равны друг другу (по первому признаку равенства треугольников), поэтому принято говорить, что данная задача имеет единственное решение.

Задача 2

Построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Решите эту задачу самостоятельно.

Задача 3

Построить треугольник по трём его сторонам.

Решение

Пусть даны отрезки P1Q1, P2Q2 и P3Q3 (рис. 141, а). Требуется построить треугольник АВС, в котором AB = P1Q1, BC = P2Q2, СА = P3Q3.

Проведём прямую и на ней с помощью циркуля отложим отрезок АВ, равный отрезку P1Q1 (рис. 141,6). Затем построим две окружности: одну — с центром А и радиусом P3Q3, а другую — с центром В и радиусом P2Q2. Пусть точка С — одна из точек пересечения этих окружностей. Проведя отрезки АС и ВС, получим искомый треугольник АВС.


Рис. 141

В самом деле, по построению AB = P1Q1, BC = P2Q2, CA = P3Q3, т. е. стороны треугольника АВС равны данным отрезкам.

Задача 3 не всегда имеет решение. Действительно, во всяком треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны, поэтому если какой-нибудь из данных отрезков больше или равен сумме двух других, то нельзя построить треугольник, стороны которого равнялись бы данным отрезкам.

Задачи

271. Из точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонная, сумма длин которых равна 17 см, а разность длин равна 1 см. Найдите расстояние от точки до прямой.

272. В равностороннем треугольнике АВС проведена биссектриса AD. Расстояние от точки D до прямой АС равно 6 см. Найдите расстояние от вершины А до прямой ВС.

273. Сумма гипотенузы СЕ и катета CD прямоугольного треугольника CDE равна 31 см, а их разность равна 3 см. Найдите расстояние от вершины С до прямой DE.

274. Докажите, что в равнобедренном треугольнике середина основания равноудалена от боковых сторон.

275. На основании АВ равнобедренного треугольника АВС взята точка М, равноудалённая от боковых сторон. Докажите, что СМ — высота треугольника АВС.

276. Через середину отрезка проведена прямая. Докажите, что концы отрезка равноудалены от этой прямой.

277. Расстояние между параллельными прямыми а и б равно 3 см, а между параллельными прямыми а и с равно 5 см. Найдите расстояние между прямыми b и с.

278. Прямая АВ параллельна прямой CD. Найдите расстояние между этими прямыми, если ∠ADC = 30°, AD = 6 см.

279.* Докажите, что все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудалённые от неё, лежат на прямой, параллельной данной.

280. Даны неразвёрнутый угол АВС и отрезок PQ. Что представляет собой множество всех точек, лежащих внутри данного угла и удалённых от прямой ВС на расстояние PQ?

281. Что представляет собой множество всех точек плоскости, равноудалённых от двух данных параллельных прямых?

282. Прямые а и б параллельны. Докажите, что середины всех отрезков ХY, где X ∈ a, Y ∈ б, лежат на прямой, параллельной прямым а и б и равноудалённой от этих прямых.

283. Что представляет собой множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой?

Задачи на построение

284. Даны прямая а и отрезок АВ. Постройте прямую р, параллельную прямой а, так, чтобы расстояние между прямыми аир было равно АВ.

Решение

Отметим на прямой а какую-нибудь точку С и проведём через точку С прямую б, перпендикулярную к прямой а (рис. 142).


Рис. 142

Затем на одном из лучей прямой б, исходящих из точки С, отложим отрезок CD, равный отрезку АВ. Через точку D проведём прямую р, перпендикулярную к прямой б. Прямая р — искомая (объясните почему).

Как видно из построения, для любой данной прямой а и любого данного отрезка АВ искомую прямую можно построить, причём задача имеет два решения (прямые р и р, на рисунке 143).


Рис. 143

285. Даны пересекающиеся прямые а и б и отрезок PQ. На прямой а постройте точку, удалённую от прямой б на расстояние PQ.

286. Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе треугольника, проведённой из вершины этого угла.

287. Постройте треугольник по стороне, медиане, проведённой к одной из двух других сторон, и углу между данными стороной и медианой.

288. Даны отрезок PQ и угол hk. Постройте треугольник АВС так, чтобы:

289. Даны два угла hk и h1k1 и отрезок PQ. Постройте треугольник АВС так, чтобы AB = PQ, ∠A = ∠hk, ∠BAC = ½∠hk.

290. Постройте прямоугольный треугольник: а) по двум катетам; б) по катету и прилежащему к нему острому углу.

291. Постройте равнобедренный треугольник: а) по боковой стороне и углу, противолежащему основанию; б) по основанию и углу при основании; в) по боковой стороне и углу при основании; г) по основанию и боковой стороне; д) по основанию и медиане, проведённой к основанию.

292. Даны отрезки P1Q1, P2Q2 и Р3Q3. Постройте треугольник АВС так, чтобы:

Всегда ли задача имеет решение?

293. Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и высоте, проведённой к этой стороне.

Решение

Даны отрезки P1Q1 и P2Q2 и угол hk (рис. 144, а). Требуется построить треугольник АВС, у которого одна из сторон, скажем АВ, равна отрезку P1Q1, один из прилежащих к ней углов, например угол А, равен данному углу hk, а высота СН, проведённая к стороне АВ, равна данному отрезку P2Q2.

Построим угол XAY, равный данному углу hk, и отложим на луче АХ отрезок АВ, равный данному отрезку P1Q1 (рис. 144, б).


Рис. 144

Для построения вершины С искомого треугольника заметим, что расстояние от точки С до прямой АВ должно равняться P2Q2. Множеством всех точек плоскости, находящихся на расстоянии P2Q2 от прямой АВ и лежащих по ту же сторону от прямой АВ, что и точка Y, является прямая р, параллельная прямой АВ и находящаяся на расстоянии Р2Q2 от прямой АВ. Следовательно, искомая точка С есть точка пересечения прямой р и луча AY. Построение прямой р описано в решении задачи 284. Очевидно, треугольник АВС удовлетворяет всем условиям задачи: AB = P1Q1, СН = P2Q2, ∠A = ∠hk.

294. Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, проведённой к одной из этих сторон.

295. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к одной из этих сторон.

Ответы к задачам

271. 8см.

272. 12см.

273. 14см.

275. Указание. Сначала доказать, что СМ — медиана треугольника АВС.

277. 2 см или 8 см.

278. 3 см.

279. Указание. Через одну из точек, удовлетворяющих условию задачи, провести прямую, параллельную данной, и доказать, что любая другая точка, удовлетворяющая условию задачи, лежит на этой прямой.

280. Луч с началом на стороне ВА, параллельный стороне ВС. Указание. Воспользоваться задачей. 279.

281. Прямая, параллельная данным прямым и находящаяся на равных расстояниях от них.

282. Указание. Воспользоваться задачей 281.

283. Две прямые, параллельные данной прямой и расположенные на данном расстоянии по разные стороны от неё.

285. Указание. Воспользоваться задачей 284.


Рейтинг@Mail.ru