Геометрия
10-11 классы

       

Задачи к § 16

  • 16.1. Две сферы имеют единственную общую точку. Установите зависимость между их радиусами и расстоянием между их центрами.
  • 16.2. В шаре с центром О провели сечение с центром Докажите, что прямая ОО1 перпендикулярна плоскости сечения.
  • 16.3. Какой фигурой является пересечение двух сфер?

Задачи к п. 16.1

  • 16.4. Фиксирована некоторая точка О. Какая фигура состоит из всех точек X, таких, что:
    • а) |ОХ| ≤ 2;
    • б) |ОХ| > 1;
    • в) 1 ≤ |ОХ| ≤ 2?
  • 16.5. Дан шар радиуса 2. В нём проводится хорда (отрезок, соединяющий две точки сферы этого шара),
    • а) Чему равна её длина, если хорда удалена от центра шара на 1?
    • б) Чему равна длина хорды, если она видна из центра под углом 30°, 120°, φ?
    • в) Пусть длина хорды равна d. На каком расстоянии от центра шара она находится? Под каким углом φ она видна из центра?
  • 16.6. Докажите, что в одном и том же шаре:
    • а) равные хорды равноудалены от центра (и обратно);
    • б) чем больше хорда, тем ближе она к центру (и обратно);
    • в) чем больше хорда, тем больше угол, под которым она видна из центра (и обратно).
  • 16.7.
    • а) Дан шар с центром О радиуса R. Найдите расстояние от точки А до этого шара, если OA = d. Изменится ли результат, если вместо шара взять сферу?
    • б) Даны два шара с радиусами R1 и R2. Расстояние между их центрами равно d. Чему равно расстояние между шарами? Изменится ли результат, если вместо шаров взять сферы?

Задачи к п. 16.2

  • 16.8. На сфере радиуса 2 провели сечение радиуса 1.
    • а) На каком расстоянии от центра сферы проходит его плоскость?
    • б) Какой угол φ составляет его плоскость с радиусом сферы, проведённым в точку сечения?
  • 16.9. В шаре радиуса 2 провели сечение. Чему равен радиус сечения, если оно:
    • а) удалено от центра на 1;
    • б) плоскость его составляет угол 45° с радиусом, проведённым в точку сечения, лежащую на сфере?
  • 16.10. Дан шар. Докажите, что в нём:
    • а) равные сечения равноудалены от центра (и обратно);
    • б) бблыиие сечения ближе к центру (и обратно),
    • в) Выясните, какую фигуру образуют центры равных сечений шара.
  • 16.11. На сфере некоторого шара даны две точки. Через них проводятся всевозможные сечения этого шара. Какое из них имеет наибольшую площадь? А наименьшую площадь?
  • 16.12. Из точки А сферы радиуса R выходят диаметр АВ и хорда АС длины d.
    • а) Чему равно | 8С|?
    • б) Чему равен ∠BAC?
    • в) Найдите расстояние от С до АВ.
  • 16.13. Из одной точки сферы выходят равные хорды,
    • а) Докажите, что они образуют равные углы с диаметром, выходящим из той же точки,
    • б) Проверьте обратное утверждение,
    • в) Какую фигуру образуют другие концы всех таких хорд?
  • 16.14. Из точки А вне шара проводятся прямые, имеющие с его сферой единственную общую точку (о таких прямых говорят, что они касаются сферы).
    • а) Докажите, что равны отрезки этих прямых от точки А до точки касания.
    • б) Какую линию на сфере образуют точки касания всех этих прямых?
  • 16.15.
    • а) Шар радиуса R укладывается в круглое отверстие радиуса г. На сколько он углубится в это отверстие?
    • б) Решите аналогичную задачу, если шар радиуса R укладывается в щель с параллельными краями ширины d.

Задачи к п. 16.3

  • 16.16. Шар с центром О радиуса R касается плоскости а в точке А. Точка X принадлежит плоскости α.
    • а) Пусть известно | ОХ |. Как вычислить | ХА | ?
    • б) Пусть известно | ХА |. Как вычислить | ОХ |? Как вычислить расстояние от точки X до шара?
  • 16.17. Шар и его касательная плоскость проектируются на плоскость, проходящую через точку касания и центр шара. Как выглядит проекция? Сделайте рисунок.
  • 16.18. Шар и две его касательные плоскости проектируются на плоскость, проходящую через точки касания и центр шара. Как выглядит проекция (для обоих возможных случаев)?
  • 16.19. Две параллельные плоскости касаются шара радиуса Я. Чему равно расстояние между ними?
  • 16.20. Шар радиуса R касается граней двугранного угла. Найдите расстояние от центра шара до ребра двугранного угла, если его величина равна:
    • а) 90°;
    • б) 60°;
    • в) φ;
    • г) Составьте и решите задачу, обратную задаче в);
    • д) Укажите способ измерения двугранного угла, ребро которого недоступно.

Задачи к п. 16.4

  • 16.21. На сфере дана точка. Сколько можно провести через эту точку:
    • а) произвольных окружностей, лежащих на сфере;
    • б) больших окружностей данной сферы;
    • в) окружностей данного радиуса, лежащих на сфере?

    Решите эти же задачи, если на сфере даны две точки; три точки.

  • 16.22. Сколько общих точек могут иметь две произвольные окружности данной сферы? На сколько частей они могут разбивать сферу? А если на этой сфере расположить три окружности, то на сколько частей они разобьют сферу?
  • 16.23. Найдите длину шестидесятой параллели Земли. Во сколько раз она длиннее такой же параллели на Луне?
  • 16.24. Нарисуйте многогранник:
    • а) около которого можно описать сферу;
    • б) около которого нельзя описать сферу;
    • в) в который можно вписать сферу;
    • г) в который нельзя вписать сферу.

    Нарисуйте многогранник с двумя свойствами из этих четырёх.

Рейтинг@Mail.ru