Геометрия
10-11 классы

§ 16. Сфера и шар

16.1. Определения сферы и шара

Главу о пространственных (не плоских) фигурах мы начнём с изучения шара — одной из простейших, но очень богатой разнообразными и важными свойствами фигуры. О геометрических свойствах шара и его поверхности — сферы — написаны целые книги. Некоторые из этих свойств были известны ещё древнегреческим геометрам, а некоторые найдены совсем недавно. Эти свойства (вместе с законами естествознания) объясняют, почему, например, форму шара имеют небесные тела и икринки рыб, почему в форме шара делают батискафы и мячи, почему так распространены в технике шарикоподшипники и т. д. Мы можем доказать самые простые свойства шара. Доказательства других, хотя и очень важных, часто требуют применения совсем не элементарных методов, хотя формулировки таких свойств могут быть очень простыми: например, среди всех тел, имеющих данную площадь поверхности, наибольший объём у шара.

Определяются сфера и шар в пространстве совершенно так же, как окружность и круг на плоскости.

Сферой называется фигура, состоящая из всех точек пространства, удалённых от данной точки на одно и то же (положительное) расстояние. Эта точка называется центром сферы, а расстояние — её радиусом.

Итак, сфера с центром О и радиусом R — это фигура, образованная всеми точками X пространства, для которых OX = R (рис. 137, а).

Рис. 137

Шаром называется фигура, образованная всеми точками пространства, находящимися от данной точки на расстоянии, не большем данного (положительного) расстояния. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние — его радиусом.

Итак, шар с центром О и радиусом R — это фигура, образованная всеми точками X пространства, для которых OX ≤ R.

Те точки X шара с центром О и радиусом R, для которых ОХ = R, образуют сферу. Говорят, что эта сфера ограничивает данный шар или что она является его поверхностью.

О тех же точках X' шара, для которых OX' < R, говорят, что они лежат внутри шара.

Радиусом сферы (и шара) называют не только расстояние R, но и любой отрезок, соединяющий центр с точкой сферы.

Диаметром сферы (и шара) называют как величину, равную удвоенному радиусу, так и любой отрезок, по которому шар пересекает прямая, проходящая через его центр (рис. 137, б).

Точки сферы, являющиеся концами диаметра сферы, называются диаметрально противоположными.

16.2 Взаимное расположение шара и плоскости

Сначала вспомним, как могут быть расположены по отношению друг к другу круг и прямая (рис. 138). Три положения круга и прямой характеризуются расстоянием от центра круга до прямой. Круг и прямая могут не иметь общих точек, касаться в одной точке и пересекаться по отрезку.

Рис. 138

Аналогично в пространстве для шара и плоскости возможны три случая:

  1. Если расстояние от центра шара до плоскости больше радиуса шара, то шар и плоскость не имеют общих точек (рис. 139, а).
  2. Если расстояние от центра шара до плоскости равно радиусу шара, то плоскость имеет с шаром и ограничивающей его сферой только одну общую точку (рис. 139, б).
  3. Если расстояние от центра шара до плоскости меньше радиуса шара, то пересечение шара с плоскостью представляет собой круг. Центр этого круга является проекцией центра шара на данную плоскость. Пересечение плоскости со сферой является окружностью указанного круга (рис. 139, в).

Рис. 139

Докажем эти утверждения. Пусть точка О — центр шара, R — его радиус, точка А — проекция точки О на данную плоскость α, так что | Оα | = ОА.

1. |Оα| = ОА > R (см. рис. 139, а). Тогда для любой точки X плоскости α выполняется неравенство

ОХ > ОА > R.

Из этого следует, что на плоскости α нет точек шара.

2. |Oα| = OA = R (см. рис. 139, б). Так как OA = R, то точка А принадлежит шару. Возьмём любую точку X ∈ α, отличную от А. Для неё ОХ > ОА, а так как OA = R, то OX > R. Следовательно, любая точка X, отличная от точки А, не принадлежит шару. Итак, в этом случае шар и плоскость α имеют единственную общую точку — точку А.

3. |Oα| = OA < R (см. рис. 139, в). Докажем, что пересечение шара и плоскости α — круг К в плоскости α с центром в точке А и радиусом , где d = OA. Для этого про точку X плоскости α докажем два утверждения:

  1. если точка X лежит в шаре, то она лежит в круге К;
  2. обратно, если точка X лежит в круге К, то она лежит в шаре.

Отметим, что для любой точки X ∈ α выполняется равенство

ОХ2 = ОА2 + АХ2 = d2 + АХ2. (1)

Докажем первое утверждение. Пусть точка X плоскости а лежит в шаре. Тогда OX ≤ R, а значит, OX2 ≤ R2. Поэтому, учитывая (1), получаем

AX2 + d2 ≤ R2.

Отсюда следует, что

AX2 ≤ R2 - d2,

т. е. АХ ≤ г. Это и означает, что точка X ∈ К.

Докажем второе утверждение. Пусть точка X плоскости а лежит в круге К. Тогда

Поэтому AX2 + d2 ≤ R2, т. е. OX2 ≤ R2. Это означает, что OX ≤ R, т. е. точка X лежит в шаре.

Рассуждения о пересечении сферы с плоскостью проводятся аналогично, только вместо неравенств появляются равенства. Убедитесь в этом самостоятельно.

Результат, доказанный в случае 3, сформулируем как теорему.

Теорема 17 (о пересечении шара с плоскостью). Если расстояние от центра шара до плоскости меньше радиуса шара, то пересечение шара с плоскостью представляет собой круг.

16.3 Касательная плоскость сферы

Рассмотрим подробнее случай из предыдущего пункта, когда плоскость и сфера имеют единственную общую точку. В этом случае говорят, что плоскость и сфера касаются, а их общая точка называется точкой касания.

Признак касания сферы и плоскости: если плоскость проходит через точку на сфере и перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, то она касается сферы.

Докажем свойство касательной плоскости, которое обратно этому признаку. А именно если плоскость касается сферы, то она перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Доказательство. Допустим, что плоскость не перпендикулярна радиусу. Тогда она удалена от центра сферы на расстояние, меньшее радиуса. Но тогда согласно случаю 3 п. 16.2 плоскость пересекает сферу по окружности, что противоречит условию. Итак, плоскость перпендикулярна радиусу.

Объединим эти два утверждения в теорему о касании сферы и плоскости:

Теорема 18. Плоскость и сфера касаются в некоторой точке тогда и только тогда, когда плоскость перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку.

Плоскость, касающаяся сферы, называется касательной плоскостью этой сферы. Отметим, что сфера имеет общую точку с такой плоскостью и лежит по одну сторону от неё, т. е. в одном полупространстве.

Плоскости, обладающие таким свойством относительно некоторой фигуры (необязательно сферы), называются опорными плоскостями этой фигуры (рис. 140).

Рис. 140

16.4. Свойства сферы. Изображение сферы

Пусть S — сфера с центром О радиусом R, α — некоторая плоскость и |Oa| = d < R.

Плоскость α пересекает сферу S по окружности радиуса . Радиус г будет наибольшим, когда d = 0, т. е. когда плоскость α проходит через центр сферы S. Тогда r = R. Поэтому окружность, по которой сфера пересекается с плоскостью, проходящей через её центр, называется большой окружностью сферы. Каждые две большие окружности одной сферы пересекаются в двух диаметрально противоположных точках (докажите это самостоятельно, рис. 141).

Рис. 141

А через любые две недиаметрально противоположные точки сферы проходит единственная большая окружность; она получается при пересечении сферы с плоскостью, проходящей через центр сферы и две данные точки (рис. 142).

Рис. 142

Ортогональная проекция шара, как и сферы, есть круг того же радиуса.

Действительно, если плоскость проекции проходит через центр шара, то проекцией этого шара на плоскость является большой круг, по которому плоскость пересекает шар (рис. 143, а). Если же плоскость проекции не проходит через центр данного шара, то проекцией шара на эту плоскость будет круг, равный большому кругу (рис. 143, б).

Рис. 143

Поэтому шар и сферу изображают в виде круга. При этом, чтобы отличить изображение шара от изображения круга, обычно в изображении шара рисуют проекцию какой-нибудь большой окружности. Проекция эта будет, как мы знаем, эллипсом (см. рис. 110, а). Если взятая большая окружность принята за экватор, то полюсы изображаются, как на рисунке 144, а. На рисунке же 144, б изображение неверное! При таком положении полюсов экватор изображался бы отрезком. Объясните почему.

Рис. 144

Сфера описана около многогранника, если она проходит через все его вершины. В этом случае говорят, что многогранник вписан в сферу. Сфера вписана в многогранник, если она касается всех его граней. В этом случае говорят, что многогранник описан около сферы.

Вопросы для самоконтроля

  1. Что общего у сферы и окружности, у шара и круга? А какая между ними разница?
  2. Какие вы знаете свойства сферы?
  3. Что представляет собой пересечение шара и плоскости?


Рейтинг@Mail.ru