Начертательная геометрия

9.3. Пересечение конической поверхности плоскостью. Построение развертки

При пересечении конической поверхности вращения плоскостью получаются различные линии — прямые, замкнутые кривые — окружности и эллипсы, незамкнутые кривые — параболы и гиперболы, а также точка. Вид указанных линий определяется положением секущей плоскости относительно вершины конической поверхности и соотношением между величинами углов наклона секущей плоскости и образующей конической поверхности к ее оси.

Если секущая плоскость Р (Р_v) проходит через вершину (рис. 9.6, а), то пересечение плоскости с конической поверхностью в зависимости от угла α наклона плоскости к оси поверхности образует:

при 3 < α < (180° — β) — точку,
при α = β — прямую, по которой плоскость касается конической поверхности;
при 0 < α < β — две прямые (образующие).

Рис. 9.6

Если плоскость пересекает коническую поверхность и при этом не проходит через вершину, то в их пересечении имеют место (рис. 9.6, б, в):

при α = 90° — окружность (плоскость, перпендикулярная оси, окружность АМВ (а'm'Ь') в пересечении с плоскостью Р (Р_v) — рис. 9.6, 6):
при β < α < (180°— β) — эллипс (эллипс CMD (c'm'd') в пересечении с плоскостью Q (Q_v) — рис. 9.6, б — плоскость пересекает все образующие конической поверхности);
при α < β — гипербола (плоскость параллельна двум образующим и пересекает коническую поверхность по обе стороны от вершины, например гипербола с вершинами Е (е') и F (f') в пересечении с плоскостью Т(Т_v) или с вершинами 1 (1') и 2 {2') в пересечении с плоскостью Т₁(T_1v) — рис. 9.6, в);
при α = β — парабола (плоскость, параллельная одной из образующих, например парабола с вершиной К (k') в пересечении с плоскостью R(R_v) — рис. 9.6, в).

Наглядное изображение кривых — эллипса, гиперболы, параболы, получающихся при пересечении конической поверхности плоскостями Q, Т, R, приведено на рисунке 9.7.

Рис. 9.7

Пересечение конуса с плоскостью

Для построения кривой линии, получаемой при пересечении конической поверхности плоскостью, в общем случае находят точки пересечения прямолинейных или круговых образующих конической поверхности с секущей плоскостью. Соответствующий пример в случае пересечения фронтально-проецирующей плоскостью Р (P_v) конуса с вершиной S приведен на рисунке 9.8. Построение линии пересечения плоскости с конической поверхностью обычно выполняют в следующем порядке. Основание конуса делят на несколько равных частей (обычно 12), проводят горизонтальные проекции s—1, s—2, s—12 образующих и строят их фронтальные проекции. На фронтальной проекции отмечают фронтальные проекции точек пересечения построенных образующих на видимой поверхности конуса с секущей плоскостью Р (P_v): с', d', f', q', а также крайних точек а' и Ь'.

Рис. 9.8

Горизонтальные проекции строят в проекционной связи на соответствующих проекциях образующих — точки а, с, d, f, q, b на проекциях образующих s—1, s—2, s—3, s—5, s—6, s—7, а также симметричные им точки на проекциях образующих s—12, s—11, s—9, s—8. Горизонтальную проекцию е точки Е на образующей S—4 и симметричной точки на образующей S—10 строят с помощью окружности радиуса е'е'₁, проведенной на поверхности конуса.

На фронтальной проекции большая ось АВ эллипса — линии пересечения фронтально-проецирующей плоскости с конусом — проецируется в натуральную величину: [АВ] ≅ [а'Ь']. Малая ось MN эллипса перпендикулярна большой и проецируется в точку m'(n') в середине фронтальной проекции а'Ь' большой оси.

Построение горизонтальной проекции малой оси эллипса выполнено с помощью параллели с проекциями m'14' и m — 14 — n. Горизонтальная проекция тп малой оси эллипса построена в проекционной связи как хорда горизонтальной проекции m—14—n этой параллели. Профильная проекция линии среза конуса также построена по фронтальной и горизонтальной проекциям точек в проекционной связи.

Отметим, что на профильной проекции точки а"и Ь"низшая и высшая, m"и n" — крайние (правая и левая), е"и симметричная ей — точки касания проекций крайних образующих.

Построение натурального вида фигуры среза A₀M₀B₀N₀ выполнено по координатам в системе координат х'₁ у₁ (см. также рис. 6.9).

Наряду с построением эллипса по точкам возможно построение его по большой и малой осям. Соответствующий пример приведен на форзаце. Там же приведены построения некоторых плоских кривых и плавных сопряжений.

Развертка боковой поверхности прямого кругового конуса представляет собой круговой сектор с углом φ = (d/l)•180° при вершине, где d — диаметр основания, l— длина образующей конуса. Построение сектора (рис. 9.9) выполняют с разбивкой его на равные части соответственно разметке образующих на чертеже (см. рис. 9.8 конуса).

Рис. 9.9

Используя положение образующих на чертеже и на развертке, находят положение точек на развертке при помощи натуральных величин отрезков от вершины до соответствующих точек линии пересечения на чертеже. При этом расстояния S₀A₀ и S₀ В₀ соответствуют фронтальным проекциям s'a', s'b'. Отрезки образующих от вершины до других точек проецируются на фронтальную плоскость проекций с искажениями. Поэтому их натуральную величину находят вращением вокруг оси конуса до положения, параллельного фронтальной плоскости проекций. Например, положение точки Do на развертке найдено при помощи отрезка s'd'₁ — натуральной величины образующей от вершины S до точки D, точки Е₀ — при пбмощи отрезка s'e'₁ (или s"e").

Полная развертка поверхности усеченного конуса состоит из трех частей: 1) развертки боковой поверхности, ограниченной дугой окружности радиуса l, кривой В₀Q₀F₀E₀D₀С₀А₀ и симметрично ей; 2) круга основания; 3) натурального вида фигуры сечения.

На рисунке 9.8 показано построение фронтальной и горизонтальной проекций точки К по изображению К₀ этой точки на развертке (см. рис. 9.9). Для построения проведена образующая S₀13₀ через точку К₀ на развертке. С помощью отрезка l₁ построена горизонтальная проекция 13. Через нее проведены горизонтальная s —13 и фронтальная s'—13' проекции образующей S—13. Отрезок S₀k₀ = s'k'₁ отмечен на проекции образующей s'7'. Обратным вращением построена фронтальная проекция k' точки К на фронтальной проекции образующей s'13'. Горизонтальная проекция k построена с помощью линии связи.