Учебник для ВУЗов

Начертательная геометрия

6.7. Развертка гранных поверхностей

Разверткой поверхности многогранника называют плоскую фигуру, полученную при совмещении с плоскостью всех его граней. Развертывание гранных поверхностей выполняют для проведения раскроя листового материала при изготовлении деталей или определения площади поверхности деталей, покрываемых различными материалами. Определение площади важно при различных покрытиях, выполняемых как с декоративными целями, так и с целью придания поверхности определенных свойств, например повышенной электропроводности, а также при различных химических методах обработки поверхностей.

Для построения развертки гранной поверхности необходимо определить размеры ее граней. Заметим, что построение любой грани многогранника может быть выполнено путем разбивки ее на треугольники. Длина сторон треугольника в свою очередь может быть определена любым из известных методов.

Развертка поверхности пирамиды

Построение развертки боковой поверхности пирамиды можно проводить в следующей последовательности:

• определить длину ребер и сторон основания пирамиды;
• выполнить чертеж развертки последовательным построением треугольников — граней пирамиды.

Пример построения развертки поверхности треугольной пирамиды SABC приведен на рисунках 6.14 и 6.15. Для удобства построения на рисунке 6.14 боковые ребра пирамиды продолжены до пересечения с плоскостью Н.

Рис. 6.14

Это позволило определить на горизонтальной проекции длину отрезков 1—2, 2—3, 3—4 нового основания пирамиды. Длина боковых ребер S—l, S—2, S—3 найдена вращением их вокруг вертикальной оси — отрезки s'l₁,s'2₁, s'3₁. На них найдены отрезки s'a₁', s'b₁', s'c_x'1. По найденным отрезкам на рисунке 6.15 построена развертка боковой поверхности S₀l₀2₀3₀1₀ и затем S₀A₀B₀C₀A₀. На отрезке А₀С₀ построена натуральная величина треугольника А₀В₀С₀ по сторонам" Л₀В₀ и C₀B₀, найденным способом прямоугольного треугольника (см. рис. 2.9).

Рис. 6.15

Построение развертки призматической поверхности можно производить несколькими способами — нормального сечения, треугольников.

При способе нормального сечения построение развертки призматической поверхности целесообразно выполнять в следующем порядке (рис. 6.16):

• пересечь призматическую поверхность вспомогательной плоскостью, перпендикулярной к ее ребрам (Р ⊥ 1—2; нормальное сечение);
• развернуть построенную ломаную линию (А₀В₀С₀О₀) пересечения вспомогательной плоскости с призматической поверхностью, определив длину ее отрезков (А₀B₀, В₀С₀, C₀D₀);
• на перпендикулярах к развернутой линии пересечения (А₀D₀) отложить длину отрезков ребер призматической поверхности (А₀2₀, В₀З₀, B₀4₀, С₀5₀, C₀6₀, D₀7₀, D₀8₀) и соединить их концы отрезками прямых.

Рис. 6.16

Пример построения развертки боковой поверхности наклонной призмы на чертеже приведен на рисунке 6.17 и 6.18.

Рис. 6.17

Для построения вспомогательной плоскости Р, перпендикулярной ребрам призмы, выбрана дополнительная плоскость проекций Т, параллельная ребрам призмы и перпендикулярная S плоскости Н. Вспомогательная плоскость Р задана следом Pt на плоскости проекций Т перпендикулярно ребрам призмы. Проекции на плоскости Т точек пересечения ребер призмы с плоскостью Р отмечены 1₁, 2₁, 3₁. На плоскость Т боковые ребра призмы проецируются в натуральную величину. Натуральная величина отрезков линии пересечения 1—2—3 плоскостью Р, перпендикулярной ребрам, определена на плоскости S (лл. S ⊥ T).

Рис. 6.18

По способу треугольников развертка призматической поверхности заключается в следующем: четырехугольники (грани) разбивают диагоналями на треугольники; определяют длины сторон треугольников; выполняют чертеж развертки последовательным построением треугольников, на которые разбиты грани.

Вопросы для контроля

1. Как задают на чертеже призматическую поверхность?
2. Какие признаки позволяют установить, что на чертеже изображена призма (или параллелепипед)?
3. Как задают поверхность пирамид?
4. Как определяют высоту пирамиды?
5. Как определяют угол между гранями?
6. Как строят фигуру, получаемую при пересечении призмы или пирамиды плоскостью?
7. Как строят точки пересечения прямой линии с гранями призмы или пирамиды (точки входа и выхода)?
8. Как строят сечение призмы плоскостью, параллельной ее боковым ребрам?
9. Как строят сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ее вершину?
10. Как строят линию пересечения одной гранной поверхности другой?
11. По каким схемам можно производить развертывание поверхностей призмы и пирамиды?