Учебник для ВУЗов

Начертательная геометрия

6.6. Взаимное пересечение многогранников

Изображение пересекающихся между собой в пространстве призмы А и пирамиды Б представлено на рисунке 6.12. Линия их пересечения проходит через точки 7, 3, 4, 6 пересечения ребер пирамиды с гранями призмы и точки 2, 5 пересечения ребра призмы с гранями пирамиды. В общем случае в пересечении многогранников получается пространственная замкнутая ломаная линия, которая в некоторых частных случаях может оказаться плоской.

Рис. 6.12

При построении линии пересечения многогранников применяют два способа и их комбинации.

1. Строят точки пересечения ребер одного многогранника с гранями другого и ребер второго с гранями первого. Через построенные точки в определенной последовательности приводят ломаную линию пересечения данных многогранников. При этом отрезки прямых проводят лишь через те построенные точки, которые лежат в одной и той же грани.
2. Строят отрезки прямых, по которым грани одной поверхности пересекают грани другой. Эти отрезки являются звеньями ломаной линии пересечения многогранных поверхностей между собой.

Таким образом, построение линии пересечения двух многогранников сводится или к построению линии пересечения двух плоскостей между собой, или к построению точки пересечения прямой с плоскостью. Обе эти задачи рассмотрены выше. На практике обычно используют оба способа в комбинации, исходя из условия простоты и удобства построения.

В качестве примера рассмотрим построение линии пересечения усеченной правильной четырехугольной пирамиды и наклонно расположенной трехгранной призмы (рис: 6.13, а). Прежде чем приступить к построениям, анализируют взаимное положение многогранников и их расположение относительно плоскостей проекций. В данном случае очевидно, что многогранники могут пересекаться только по боковым граням. Ребра призмы и боковые ребра пирамиды параллельны плоскости V, основания пирамиды параллельны плоскости Н. Нижняя грань призмы и ее основания перпендикулярны плоскости V.

Рис. 6.13a

Указанные особенности расположения призмы и пирамиды определяют и наиболее рациональный способ построения линии пересечения их поверхностей по точкам пересечения ребер призмы с гранями пирамиды и боковых ребер пирамиды с гранями призмы.

Построения показаны на рисунке 6.13, б. Рассмотрим их для левой части чертежа (от оси пирамиды). Проекции 1', 1, 2', 2, 3', 3, 4', 4 точек пересечения ребер призмы с гранями пирамиды найдены путем проведения через них фронтальных плоскостей Q {Q_h), Р {P_h), Т (T_h). Они пересекают левые боковые грани пирамиды по фронталям — прямым линиям, параллельным левому ребру пирамиды. Положение их фронтальных проекций определено по горизонтальным проекциям 21, 22 и 24 точек пересечения горизонтальных проекций Q_h, P_h и T_h плоскостей Q, Р, Тс горизонтальной проекцией основания пирамиды. В пересечении фронтальных проекций этих линий с фронтальными проекциями ребер призмы найдены фронтальные проекции 1', 2' и 4' точек пересечения ребер призмы с левыми гранями пирамиды. По ним построены горизонтальные проекции 1, 2, 4.

Рис. 6.13б

Проекции 3', 3 точки пересечения ребра AD пирамиды с верхней задней гранью призмы найдены с помощью вспомогательной фронтальной плоскости S (S_h) которая проведена через это ребро. Плоскость S пересекает грань призмы по прямой, параллельной ребрам призмы и проходящей через точку 23 на основании призмы. В пересечении фронтальных проекций этой прямой и ребра а'd' найдена фронтальная проекция 3' точки пересечения указанного ребра с задней верхней гранью призмы и на линии связи — горизонтальная проекция 3. С нижней гранью призмы, перпендикулярной плоскости V, ребро AD пересекается в точке с фронтальной проекцией 5' В проекционной связи на проекции ad построена ее горизонтальная проекция 5.

Таким образом, проекции точек пересечения всех ребер призмы с левыми гранями пирамиды 1', 1, 2', 2, 4', 4 и ребра AD пирамиды с двумя гранями призмы 3', 3 и 5', 5 построены. Соединяем проекции точек, принадлежащих одной грани, и получаем проекции 1'2'3'4'5'1', 1—2—3 — 4—5—1 ломаной линии пересечения.

Построения в правой части чертежа проекций 6'7'8'9'10'6', 6—7—8—9—10—6 линии пересечения аналогичны. Порядок построения иллюстрируется стрелками.

Заметим, что переднее и заднее ребра пирамиды не пересекают поверхность призмы.