Учебник для ВУЗов

Начертательная геометрия

1.2. Параллельные проекции и их основные свойства

Параллельное проецирование (рис. 1.6) можно рассматривать как частный случай центрального проецирования, при котором центр проекций удален в бесконечность (S_оо). При параллельном проецировании применяют параллельные проецирующие прямые, проведенные в заданном направлении относительно плоскости проекций. Если направление проецирования перпендикулярно плоскости проекций, то проекции называют прямоугольными или ортогональными, в остальных случаях— косоугольными (на рис. 1.6 направление проецирования указано стрелкой под углом α ≠ 90° к плоскости проекций Р).

Рис. 1.6

При параллельном проецировании сохраняются все свойства центрального проецирования, а также возникают следующие новые свойства.

1. Параллельные проекции взаимно параллельных прямых параллельны, а отношение длин отрезков таких прямых равно отношению длин их проекций.

Если прямые MN и KL (рис. 1.7) параллельны, то проецирующие плоскости Q и Т параллельны, так как пересекающиеся прямые в этих плоскостях взаимно параллельны: MN // KL по условию, Аа_p // Сс_p // S_оо. Следовательно, проекции m_pn_p и k_pl_p параллельны как линии пересечения параллельных плоскостей Q и T с плоскостью Р.

Рис. 1.7

Отметим на прямой MN произвольный отрезок АВ и на прямой KL — произвольный отрезок CD. Проведем в плоскости Q через точку А прямую А—// а_pЬ_p и в плоскости T через точку С — нрямую C—2 // c_pd_p. Отрезки [B—1] = [a_pb_p], [C—2] = [C_pd_p] как отрезки параллельных между параллельными. Отрезки С—2 // с_pd_p // a_pb_p и, следовательно, С— 2 // А— 1. Отрезки В— 1 // D—2// S_∞, ΔАВ—1 ΔCD—2, так как все их стороны взаимно параллельны. Из подобия треугольников АВ—1 и CD—2 следует:

|АВ| : |CD| = |А—1| : |С—2| = |а_pb_p| : |c_pd_p|.

Из рассмотренного следует:

1. если длина отрезка прямой делится точкой в каком-либо отношении, то и длина проекции отрезка делится проекцией этой точки в том же отношении (рис. 1.8):

   |АК| : |КВ| = |а_pk_p| : |k_pЬ_p|,

   

   Рис. 1.8

2. проекции равных по длине отрезков взаимно параллельных прямых взаимно параллельны и равны по длине.

Это очевидно, так как (см. рис. 1.7) при |AB| : |CD|= 1 будет |а_pЬ_p| = |c_pd_p|. Поэтому при косоугольном проецировании в общем случае параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат проецируются в параллелограмм.

2. Плоская фигура, параллельная плоскости проекций, проецируется при параллельном проецировании на эту плоскость в такую же фигуру.

3. Параллельный перенос фигуры в пространстве или плоскости проекций не изменяет вида и размеров проекции фигуры.

Параллельные проекции, как и центральные при одном центре проекций, также не обеспечивают обратимости чертежа. Применяя приемы параллельного проецирования точки и линии, можно строить параллельные проекции поверхности и тела. Параллельные проекции применяют для построения наглядных изображений различных технических устройств и их деталей, например аксонометрических проекций, рассматриваемых ниже.