Учебник для ВУЗов

Начертательная геометрия

5.4. Гомотетия и подобие, центральная и зеркальная симметрии

Гомотетия и подобие

Гомотетия — преобразование, при котором каждой точке М (плоскости или пространства) ставится в соответствие точка М', лежащая на ОМ (рис. 5.16), причем отношение ОМ' : ОМ= X одно и то же для всех точек, отличных от О. Фиксированная точка О называется центром гомотетии. Отношение ОМ' : ОМ считают положительным, если М' и М лежат по одну сторону от О, отрицательным — по разные стороны. Число X называют коэффициентом гомотетии.

Рис. 5.16

При λ< 0 гомотетию называют обратной. При λ = — 1 гомотетия превращается в преобразование симметрии относительно точки О. При гомотетии прямая переходит в прямую, сохраняется параллельность прямых и плоскостей, сохраняются углы (линейные и двугранные), каждая фигура переходит в ей подобную (рис. 5.17).

Рис. 5.17

Верно и обратное утверждение. Гомотетия может быть определена как аффинное преобразование, при котором прямые, соединяющие соответствующие точки, проходят через одну точку — центр гомотетии. Гомотетию применяют для увеличения изображений (проекционный фонарь, кино).

Центральная и зеркальная симметрии

Симметрия (в широком смысле) — свойство геометрической фигуры Ф, характеризующее некоторую правильность ее формы, неизменность ее при действии движений и отражений. Фигура Ф обладает симметрией (симметрична), если существуют нетождественные ортогональные преобразования, переводящие эту фигуру в себя. Совокупность всех ортогональных преобразований, совмещающих фигуру Ф с самой собой, является группой этой фигуры. Так, плоская фигура (рис. 5.18) с точкой М, преобразующаяся в себя при зеркальном отражении, симметрична относительно прямой — оси АВ. Здесь группа симметрии состоит из двух элементов — точка М преобразуется в М'.

Рис. 5.18

Если фигура Ф на плоскости такова, что повороты относительно какой-либо точки О на угол 360°/л, где л > 2 целое число, переводят ее в себя, то фигура Ф обладает симметрией л-го порядка относительно точки О — центра симметрии. Пример таких фигур — правильные многоугольники, например звездчатый (рис. 5.19), обладающий симметрией восьмого порядка относительно своего центра. Группа симметрии здесь — так называемая циклическая группа л-го порядка. Окружность обладает симметрией бесконечного порядка (поскольку совмещается с собой поворотом на любой угол).

Рис. 5.19

Простейшими видами пространственной симметрии является центральная симметрия (инверсия). В этом случае относительно точки О фигура Ф совмещается сама с собой после последовательных отражений от трех взаимно перпендикулярных плоскостей, т. е. точка О — середина отрезка, соединяющего симметричные точки Ф. Так, для куба (рис. 5.20) точка О является центром симметрии. Точки М и М' куба симметричны как относительно осей АВ и CD, так и относительно центра О.

Рис. 5.20

В случае осевой симметрии, или симметрии относительно прямой л-го порядка, фигура накладывается на себя вращением вокруг некоторой прямой (оси симметрии) на угол 360°/л. Например, для куба (см. рис. 5.20) прямая АВ — ось симметрии третьего порядка, CD — ось симметрии четвертого порядка. Вообще правильные многогранники симметричны относительно ряда прямых.

Вопросы для контроля

• Какие способы преобразования чертежа рассмотрены в главе 5? В чем заключается их основное различие?
• В чем заключается способ, называемый способом перемены плоскостей проекций?
• Какие положения в системе V, Н должна занять плоскость проекций S, вводимая для образования системы S, Н?
• Какое положение в системе V, Н займет плоскость проекций Т при последовательных переходах от V, Н через S, Н к S, Т?
• Как найти длину отрезка прямой общего положения и углы наклона этой прямой к плоскостям Уи Н, вводя дополнительные плоскости проекции?
• Сколько дополнительных плоскостей надо ввести в систему V, Н, чтобы определить натуральный вид фигуры, плоскость которой перпендикулярна к плоскости Н или к плоскости V?
• Сколько и в какой последовательности надо ввести дополнительных плоскостей в систему V, Н, чтобы заданная прямая общего положения оказалась перпендикулярной к дополнительной плоскости проекций?
• Сколько (и в какой последовательности) надо ввести дополнительных плоскостей проекций в систему V, Н, чтобы получить натуральный вид фигуры, плоскость которой является плоскостью общего положения?
• Как определить расстояние между двумя скрещивающимися прямыми?
• Что такое плоскость вращения точки и как она располагается при повороте вокруг вертикальной оси?
• Как перемещаются проекции точки при вращении ее вокруг оси, не перпендикулярной фронтальной плоскости проекций?
• Какая из проекций отрезка прямой линии не изменяет своей величины при вращении вокруг вертикальной оси?
• В каком случае не изменяется при вращении наклон прямой линии по отношению: а) к горизонтальной плоскости проекций; б) к фронтальной плоскости проекций?
• Можно ли показать на чертеже поворот отрезка прямой вокруг оси, перпендикулярной горизонтальной или фронтальной плоскости проекций, не изображая самой оси? На чем основан такой прием?
• Как располагают плоскость вращения точки, если ее ось вращения параллельна горизонтальной или фронтальной плоскости проекций, а не перпендикулярна к ней? Почему при этом приходится определять натуральную величину радиуса вращения?
• Что такое способ совмещения?