Учебник для ВУЗов

Начертательная геометрия

5.2. Способ перемены плоскостей проекций

Этот способ широко применяют в машиностроении и приборостроении. Сущность способа перемены плоскостей проекций заключается в следующем: положение точек, линий, плоских фигур, поверхностей в пространстве не изменяется, а система V, Н дополняется плоскостями, образующими с V, или Н, или между собой системы двух взаимно перпендикулярных плоскостей, принимаемых за плоскости проекций.

Каждая новая система выбирается так, чтобы по отношению к заданным геометрическим элементам она заняла положение, наиболее удобное для выполнения требуемого построения.

На рисунке 5.1 показано преобразование проекций точки А из системы V, Н в систему S, Н, в которой вместо плоскости V введена новая плоскость S, а плоскость Н осталась неизменной. При этом S ⊥ Н. В системе S, Н горизонтальная проекция а точки А осталась неизменной. Проекция as точки А на плоскости S находится от плоскости Н на том же расстоянии, что и проекция о'точки А на плоскости V. Это условие позволяет легко строить проекцию точки на чертеже (рис. 5.2) на новой плоскости проекций. Для этого в новой системе (Н, S) из проекции точки (а) на сохраняющейся плоскости проекций проводят линию связи, перпендикулярную к новой оси проекций (S/H). На этой линии связи отмечают расстояние от оси H/S до проекции a_s точки на новой плоскости проекций S, равное расстоянию от преобразуемой проекции точки а' до оси проекций V/H в системе V, Н (|а_s—2| = |а'—1|).

Рис. 1             Рис. 2

При введении новой плоскости проекций, перпендикулярной фронтальной плоскости проекций (например, плоскости Т на рис. 5.3), расстояние от проекции (Ь₁) до новой оси проекций (T/V) равно расстоянию от горизонтальной проекции (Ь) до оси V/H (|b-1| = |b_f-2|).

Рис. 5.3

В дальнейшем, при введении новой плоскости проекций, ось проекций можно обозначать в виде дроби, черта которой лежит на оси; каждую букву при этом пишут как бы на «своей» плоскости.

Проекции точек на новых плоскостях проекций удобно отмечать индексами плоскости (например, а, Ь, и т. п.).

Перемену плоскостей проекций можно производить последовательно несколько раз.

Четыре основные задачи преобразования

Определение величины отрезка АВ общего положения показано на рисунке 5.4. Для этого плоскость V заменена на новую плоскость проекций S, параллельную отрезку (ось-S/H параллельна оси ab). Расстояния от оси S/H до a_s и b_s соответственно равны расстояниям от а' и Ь'до оси V/H соответственно (|а_s—2|—|а'—1|). Одновременно с определением натуральной величины отрезка определена величина α угла наклона отрезка АВ к плоскости Н.

Приведение отрезка прямой общего положения в проецирующее положение. На рисунке 5.4 новая система плоскостей проекций H/S относительно отрезка АВ находится в частном положении (пл. S // АВ). Введем еще одну новую плоскость проекций Т, перпендикулярную плоскости проекций S и отрезку АВ (ось проекций у перпендикулярна проекции a_sb_s). Относительно этой плоскости проекций Т отрезок АВ занимает проецирующее положение (проекции а₁ и Ь₁ совпадают, |а—2| = |а₁—3|).

Рис. 5.4

Для преобразования проекций отрезка общего положения на чертеже в проецирующее положение требуется введение двух новых плоскостей проекций последовательно: первой — параллельно отрезку, второй — перпендикулярно ему с условием перпендикулярности между исходными и новыми плоскостями проекций.

Приведение плоской фигуры общего положения в проецирующее положение. Решение основывается на предыдущей задаче. Построение выполняют с помощью одной из линий частного положения, например горизонтали с проекциями a'f', af (рис. 5.5). Новая плоскость проекций S в этом случае выбрана перпендикулярно горизонтали AF (ось H/S перпендикулярна проекции af) и соответственно перпендикулярно плоскости Н.

Рис. 5.5

Определение натурального вида плоской фигуры, расположенной в проецирующем положении (рис. 5.6). Построение выполнено путем введения новой плоскости проекций Т, перпендикулярной плоскости V и параллельной плоскости четырехугольника с проекциями a'b'c'd'и а, Ь, с, d (ось T/V параллельна проекции a'b'c'd'). Проекция a_tb_tc_td_t является натуральным видом заданного четырехугольника.

Рис. 5.6

Следовательно, последовательным введением двух новых плоскостей проекций могут быть определены: натуральный вид плоской фигуры, принадлежащей плоскости общего положения, и углы наклона плоскости к плоскостям проекций.

Определение расстояния между двумя скрещивающимися прямыми

Это расстояние выражается величиной общего перпендикуляра MN к заданным прямым АВ и CD (рис. 5.7, а). Для определения его длины удобно, чтобы одна из прямых располагалась перпендикулярно плоскости проекций. Выше было показано, что для этого надо последовательно ввести две новые плоскости проекций (рис. 5.7, б), например:

пл. S // (АВ), ⊥ пл. H; ось // (ab);

пл. Т ⊥ (АВ), ⊥ пл. S; ось S/T ⊥ (a_sb_s)

Рис. 5.7

На плоскость Т прямая АВ проецируется в точку a_t=b_t. Проведя перпендикуляр из точки а_t = Ь_t на проекцию c_td_t, находим проекцию п_t точки N пересечения его с прямой CD. Отметим проекцию m_t точки М, совпадающую с проекциями точек а_t Ь_t. Искомое расстояние определено — m_tn_t. На чертеже стрелками указано построение проекций mn и m 'n 'общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым в системе V, Н.