Учебник для 6 класса

МАТЕМАТИКА

6. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа

Задача. Какое наибольшее число одинаковых подарков можно составить из 48 конфет «Ласточка» и 36 конфет «Чебурашка», если надо использовать все конфеты?

Решение. Каждое из чисел 48 и 36 должно делиться на число подарков. Поэтому сначала выпишем все делители числа 48.

Получим: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.

Затем выпишем все делители числа 36.

Получим: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Общими делителями чисел 48 и 36 будут: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Видим, что наибольшим из этих чисел является 12. Его называют наибольшим общим делителем чисел 48 и 36.

Значит, можно составить 12 подарков. В каждом подарке будет 4 конфеты «Ласточка» (48 : 12 = 4) и 3 конфеты «Чебурашка» (36 : 12 = 3).

Найдём наибольший общий делитель чисел 24 и 35.

Делителями 24 будут 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а делителями 35 будут 1, 5, 7, 35.

Видим, что числа 24 и 35 имеют только один общий делитель — число 1. Такие числа называют взаимно простыми.

Наибольший общий делитель можно найти, не выписывая всех делителей данных чисел.

Разложим на множители числа 48 и 36, получим:

48 = 2 • 2 • 2 • 2 • 3, 36 = 2 • 2 • 3 • 3.

Из множителей, входящих в разложение первого из этих чисел, вычеркнем те, которые не входят в разложение второго числа (т. е. две двойки).

Остаются множители 2 • 2 • 3. Их произведение равно 12. Это число и является наибольшим общим делителем чисел 48 и 36. Так же находят наибольший общий делитель трёх и более чисел.

Если все данные числа делятся на одно из них, то это число и является наибольшим общим делителем данных чисел.

Например, наибольшим общим делителем чисел 15, 45, 75 и 180 будет число 15, так как на него делятся все остальные числа: 45, 75 и 180.

Вопросы для самопроверки

• Какое число называют наибольшим общим делителем двух натуральных чисел?
• Какие два числа называют взаимно простыми?
• Как найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел?
• Число а кратно числу b. Какое число является наибольшим общим делителем чисел а и b?

Выполните упражнения

146. Найдите все общие делители чисел:

• а) 18 и 60;
• б) 72, 96 и 120;
• в) 35 и 88.

147. Найдите разложение на простые множители наибольшего общего делителя чисел а и b, если:

• а) а = 2 • 2 • 3 • 3 и b = 2 • 3 • 3 • 5;
• б) а = 5 • 5 • 7 • 7 • 7 и b = 3 • 5 • 7 • 7.

148. Найдите наибольший общий делитель чисел:

• а) 12 и 18;
• б) 50 и 175;
• в) 675 и 825;
• г) 7920 и 594;
• д) 324, 111 и 432;
• е) 320, 640 и 960.

149. Являются ли взаимно простыми числа:

• а) 35 и 40;
• б) 77 и 20;
• в) 10, 30, 41;
• г) 231 и 280?

150. Найдите среди чисел 9, 14, 15 и 27 три пары взаимно простых чисел.

151. Запишите все правильные дроби со знаменателем 12, у которых числитель и знаменатель — взаимно простые числа.

152. Ребята получили на новогодней ёлке одинаковые подарки. Во всех подарках вместе было 123 апельсина и 82 яблока. Сколько ребят присутствовало на ёлке? Сколько апельсинов и сколько яблок было в каждом подарке?

153. Для поездки за город работникам завода было выделено несколько автобусов, с одинаковым числом мест в каждом автобусе. В лес поехали 424 человека, а на озеро — 477 человек. Все места в автобусах были заняты, и ни одного человека не осталось без места. Сколько автобусов было выделено и сколько пассажиров было в каждом автобусе?

154. Вычислите устно:

155. С помощью рисунка 7 определите, являются ли числа а, b и с простыми.

Рис. 7

156. Существует ли куб, ребро которого выражается натуральным числом и у которого:

• а) сумма длин всех рёбер выражается простым числом;
• б) площадь поверхности выражается простым числом?

157. Разложите на простые множители числа:

• а) 875; 2376; 5625;
• б) 2025; 3969; 13 125.

158. Почему, если одно число можно разложить на два простых множителя, а другое — на три простых множителя, то эти числа не равны?

159. Можно ли найти четыре различных простых числа, чтобы произведение двух из них равнялось произведению двух других?

160. Сколькими способами в девятиместном микроавтобусе могут разместиться 9 пассажиров? Сколькими способами могут разместиться пассажиры, если один из них, хорошо знающий маршрут, сядет рядом с водителем?

161. Найдите значение выражения:

• а) (3 • 3 • 5 • 11) : (3 • 11);
• б) (2 • 2 • 3 • 5 • 7) : (2 • 3 • 7);
• в) (2 • 3 • 7 • 13) : (3 • 7);
• г) (3 • 5 • 11 • 17 • 23) : (3 • 11 • 17).

162. Сравните:

163. С помощью транспортира постройте ∠AОВ = 35° и ∠DEF = 140°.

164. Решите задачу:

1. Луч ОМ разделил развёрнутый угол АОВ на два угла: АОМ и МОВ. Угол АОМ в 3 раза больше угла МОВ. Чему равны углы АОМ и ВОM? Постройте эти углы.
2. Луч ОК разделил развёрнутый угол COD на два угла: СОК и KOD. Угол СОК в 4 раза меньше угла KOD. Чему равны углы СОК и KOD? Постройте эти углы.

165. Решите задачу:

1. Рабочие отремонтировали дорогу длиной 820 м за три дня. Во вторник они отремонтировали этой дороги, а в среду оставшейся части. Сколько метров дороги отремонтировали рабочие в четверг?
2. На ферме содержатся коровы, овцы и козы, всего 3400 животных. Овцы и козы вместе составляют всех животных, а козы составляют общего числа овец и коз. Сколько на ферме коров, сколько овец и сколько коз?

166. Представьте в виде обыкновенной дроби числа 0,3; 0,13; 0,2 и в виде десятичной дроби числа .

167. Выполните действие, записав каждое число в виде десятичной дроби:

168. Вы умеете представлять числа в виде произведения простых чисел. Попробуйте представить в виде суммы простых слагаемых числа 10, 36, 54, 15, 27 и 49 так, чтобы слагаемых было возможно меньше. Какие предположения о представлении чисел в виде суммы простых слагаемых вы можете высказать?

169. Найдите наибольший общий делитель чисел а и Ь, если:

• а) а = 3 • 3 • 5 • 5 • 5 • 7, b = 3 • 5 • 5 • 11;
• б) а = 2 • 2 • 2 • 3 • 5 • 7, b = 3 • 11 • 13.

170. Найдите наибольший общий делитель чисел:

• а) 585 и 360;
• б) 680 и 612;
• в) 60, 80 и 48;
• г) 195, 156 и 260.

171. Докажите, что числа 864 и 875 взаимно простые.

172. Сравните:

173. Постройте угол АОС, равный 130°. Проведите внутри угла АОС луч О В так, чтобы ∠ BOC = 40°. Измерьте угол АОВ.

174. В городе построен завод, на котором будут работать 840 рабочих следующих профессий: токари, слесари и фрезеровщики. При этом токарей будет втрое, а слесарей вдвое больше, чем фрезеровщиков. Сколько токарей нужно для завода?

175. В инкубатор заложили 1200 яиц. Из всех яиц вылупились цыплята. При этом оказалось, что петушки составляют всех вылупившихся цыплят. Сколько петушков и сколько курочек вылупилось из яиц?

176. Представьте в виде обыкновенной дроби числа: 0,5; 0,16; 0,25.

177. Представьте в виде десятичнои дроби числа:

178. Найдите значение выражения:

• а) 1,53 • 54 - 0,42 • (512 - 491,2) + 1,116;
• б) ((27,12 + 43,08) • 0,007 - 0,0314) • 100.