Учебник для 6 класса

Математика

       

47. Графики

Когда Маше был год, её рост составлял 70 см, когда ей было 3 года — 100 см, 5 лет — 120 см и 7 лет — 130 см. По этим данным можно построить диаграмму (рис. 123).

Рис. 123

На этой диаграмме не полностью видно, как менялся рост Маши: она росла всё время, а на диаграмме виден её рост, только когда ей был 1 год, 3 года, 5 лет и 7 лет. Соединим верхние концы столбиков отрезками. Получится ломаная линия, которая нагляднее показывает, как изменялся рост Маши (рис. 124). Мы видим, что в 4 года её рост примерно равнялся 110 см, а в 6 лет — 125 см.

Рис. 124

Если бы рост Маши измерялся всё время, то получилась бы не ломаная, а гладкая линия, такая же, как на рисунке 125. По этой линии можно узнать рост Маши в любом возрасте от 1 года до 7 лет. Так, например, в 2 года её рост был 90 см. Эту линию называют графиком роста Маши.

Рис. 125

Для большей точности построения графиков их чертят на миллиметровой бумаге. Например, график роста Маши на миллиметровой бумаге показан на рисунке 126. Графики чертят и с помощью компьютеров, которые обеспечивают ещё большую точность.

Рис. 126

Графиками пользуются для изображения движений.

Пусть поезд, идущий со скоростью 60 км/ч, вышел в 3 ч утра из г. Ромска. Тогда в 4 ч он окажется на расстоянии 60 км от Ромска, в 5 ч — на расстоянии 120 км от него и т. д. Следующая таблица показывает расстояние от Ромска до поезда в разные моменты времени:

Изобразим пары чисел (3; 0), (4; 60), (5; 120) и т. д. точками на координатной плоскости. При этом удобнее выбирать разные масштабы на осях координат. Будем на оси абсцисс изображать 1 ч отрезком 1 см, а на оси ординат — 60 км отрезком 1 см. Получим точки А, В, С, D, Е, F и Н (рис. 127).

Рис. 127

Все эти точки лежат на одной прямой.

Если поезд не вышел из Ромска в 3 ч утра, а прошёл мимо него в это время, то таблицу можно продолжить и влево:

Знак «-» здесь показывает, что поезд ещё не дошёл до г. Ромска, а идёт к нему. Точки с координатами (0; -180), (1; -120); (2; -60) лежат на одной прямой с ранее найденными. Эту прямую называют графиком движения поезда (см. рис. 127). По графику можно узнать, где находился поезд в 6 ч 30 мин (он отошёл от г. Ромска на 210 км), где он был в 1 ч 30 мин (он не дошёл до г. Ромска 90 км), когда он отошёл от г. Ромска на 270 км (в 7 ч 30 мин) и т. д.

1441. На рисунке 128 показан график изменения массы Пети в зависимости от его возраста. Какова масса Пети в возрасте 6 лет; 8,5 лет; 10 лет?

Рис. 128

1442. На рисунке 129 изображён график изменения температуры воздуха в течение суток. Ответьте на следующие вопросы:

  • а) Чему равнялась температура воздуха в 3 ч; в 12 ч?
  • б) В какие часы температура воздуха была отрицательной?
  • в) В какие часы температура воздуха была положительной?
  • г) Когда температура воздуха равнялась нулю; 2° С; -6° С?
  • д) На сколько градусов изменилась температура с 2 ч до 13 ч; с 18 ч до 24 ч?

Рис. 129

1443. Высота сосны изменялась в зависимости от её возраста следующим образом:

Постройте график зависимости высоты сосны от её возраста. Пользуясь графиком, найдите:

  • а) высоту сосны в 15 лет; в 35 лет; в 75 лет;
  • б) возраст сосны, когда её высота была 10 м; 16 м; 20 м;
  • в) на сколько метров выросла сосна за первые 20 лет; за вторые 20 лет; за третьи 20 лет;
  • г) на сколько метров выросла сосна за время от 15 до 45 лет.

1444. В пустой графин (рис. 130) наливают воду стаканом, содержащим 0,2 л, и каждый раз отмечают высоту воды в графине.

Рис. 130

На рисунке 131 изображён получившийся график. Пользуясь графиком, определите:

  • а) какой будет уровень воды в графине, если в него налить 0,8 л воды; 2 л воды;
  • б) сколько воды надо налить в графин, чтобы уровень воды оказался на высоте 7 см; на высоте 13 см;
  • в) почему сначала уровень воды в графине растёт быстрее, потом медленнее, а затем опять быстрее.

Рис. 131

1445. На рисунке 132 изображены графики движения двух автомобилей: грузового (график АВ) и легкового (график CD). Определите, пользуясь графиком:

Рис. 132

  • а) в какое время вышли автомобили из города;
  • б) на каком расстоянии от города был легковой автомобиль в 4 ч 30 мин; в 7 ч;
  • в) на каком расстоянии от города был грузовой автомобиль в 4 ч; в б ч 30 мин;
  • г) в какое время грузовой автомобиль находился в 135 км от города; в 210 км от города;
  • д) в какое время легковой автомобиль находился в 135 км от города; в 225 км от города;
  • е) в какое время и на каком расстоянии от города легковой автомобиль догнал грузовой автомобиль;
  • ж) какой автомобиль шёл с постоянной скоростью;
  • з) какова была скорость грузового автомобиля между 5 ч и 6 ч; между 6 ч и 7 ч;
  • и) на каком расстоянии друг от друга были автомобили в 5 ч; в 7 ч.

1446. Рыболов рассказал, что, выйдя из дома, он шёл 2 ч по берегу реки и дошёл до места, где в неё впадает приток. Там он ловил рыбу 1,5 ч, а потом пошёл дальше. Через 1 ч он выбрал новое место, где в течение 2 ч ловил рыбу, варил уху, обедал. После обеда он отправился домой. На всё это он затратил 9 ч. График движения рыболова изображён на рисунке 133. Ответьте на следующие вопросы.

Рис. 133

  • а) На каком расстоянии от дома был рыболов через 30 мин; через 4 ч 40 мин; через 5,5 ч после выхода из дома?
  • б) Через сколько часов после выхода из дома был рыболов в 5 км от дома?
  • в) Когда расстояние от дома увеличивалось; уменьшалось; не изменялось?
  • г) Сколько километров прошёл рыболов за последние 2 ч?
  • д) С какой скоростью рыболов шёл в первый и с какой в последний час пути? Чему равна скорость движения рыболова в промежутке времени между 4 и 4,5 ч после выхода из дома?

1447. Вычислите устно:

1448. Найдите:

1449. Найдите число, если:

  • а) у его равны 35;
  • б) 0,12 его равны 48;
  • в) 18% его равны 24.

1450. Определите:

  • а) какую часть 12 составляет от 18;
  • б) какую часть 70 составляет от 100;
  • в) сколько процентов 8 составляет от 40.

1451. Вычислите:

0,6-0,24; 0,6 0,24; 0,6:0,24.

1452. Где расположена на координатной плоскости точка М(х, у), если:

  • а) х > 0, у > 0;
  • б) х < 0, у < 0;
  • в) х < 0, у > 0;
  • г) х = 0, у = 0;
  • д) х > 0, у < 0;
  • е) х = 0?

1453. Решите уравнение:

1454. Решите уравнение:

  • а) |x| + |-12| = |-22|;
  • б) |-7|-|x| = |-49|.

1455. Найдите целые решения неравенств:

  • а) 3 < |x| < 7;
  • б) 5 < |x| < 10,1.

1456. Начертите на координатной плоскости такой отрезок, чтобы абсциссы и ординаты его точек удовлетворяли условиям:

  • а) -2 ≤ x &≤ 5, -3 ≤ у ≤ 7;
  • б) |x| ≤ 6, |у| ≤ 4.

1457. Сумма двух чисел равна 75, причём одного числа равны другого. Найдите эти числа.

1458. Масса трёх сазанов 10,8 кг. Масса третьего сазана составляла 50% массы первого, масса второго — в 1,5 раза больше массы первого. Найдите массу каждого сазана.

1459. Моторная лодка прошла вверх по реке 60 км, а вниз 150 км. Найдите среднюю скорость лодки на всём пути, если её собственная скорость 20 км/ч, а скорость течения 4 км/ч.

1460. Решите задачу:

  1. Привезённый картофель распределили между тремя магазинами. Первыи магазин получил привезенного картофеля, второй — привезенного картофеля, а третий — остальные 21т картофеля. Сколько тонн картофеля было привезено?
  2. Трём машинисткам было поручено перепечатать рукопись книги. Первая машинистка перепечатала всей рукописи, вторая — всей рукописи, а третья — остальные 60 страниц. Сколько страниц было в рукописи?

1461. Найдите значение выражения:

1462. На рисунке 134 показан график температуры воды в электрическом самоваре. На прямой х откладывали время в минутах после включения самовара, а на прямой у — температуру воды в градусах Цельсия. Определите по графику:

  • а) температуру воды через 20 мин после включения самовара;
  • б) момент закипания воды в самоваре;
  • в) сколько минут кипела вода в самоваре;
  • г) когда температура воды в самоваре была 88 °С.

Рис. 134

1463. В двух альбомах 750 марок, причём в первом альбоме имевшихся марок составляли иностранные марки. Во втором альбоме иностранные марки составляли 0,9 имевшихся там марок. Сколько всего марок было в каждом альбоме, если число иностранных марок в них было одинаково?

1464. Катер прошёл от одной пристани до другой 240 км и вернулся обратно. Найдите среднюю скорость катера на всём пути, если его собственная скорость 18 км/ч, а скорость течения 2 км/ч.

1465. В один из дней после уроков в школе всех учащихся пошли на олимпиаду по математике, всех учащихся — в спортивные секции, а остальные 142 ученика отправились домой. Сколько всего учащихся в школе, если в этот день не было пропустивших уроки?

1466. На рисунке 135 изображён график движения поезда. Определите по графику:

  • а) какое расстояние прошёл поезд за первые 2 ч;
  • б) сколько минут поезд стоял на каждой остановке;
  • в) каково расстояние между остановками поезда;
  • г) среднюю скорость движения за 3 ч.

Рис. 135

1467. На рисунке 136 изображён график движения. Придумайте рассказ к этому графику.

Рис. 136

1468. Найдите значение выражения:

Рассказы об истории возникновения и развития математики

Идея задавать положение точки на плоскости с помощью чисел зародилась в древности — прежде всего у астрономов и географов при составлении звёздных и географических карт, календаря. Уже во II в. древнегреческий астроном Клавдий П тол ом ей пользовался широтой и долготой в качестве координат.

В XVII в. французские математики Рене' Декарт и Пьер Ферма впервые открыли значение использования координат в математике.

Описание применения координат дал в книге «Геометрия» в 1637 г. Р. Декарт, поэтому прямоугольную систему координат часто называют декартовой. Слова «абсцисса», «ордината», «координаты» первым начал использовать в конце XVII в. Готфрид Вильгельм Лейбниц.

 

Top.Mail.Ru
Рейтинг@Mail.ru