Учебник для 6 класса

МАТЕМАТИКА

37. Рациональные числа

Число, которое можно записать в виде отношения где а — целое число, а n — натуральное число, называют рациональным числом.

Любое целое число а является рациональным числом, так как его можно записать в виде .

Например,

Рациональным числом будет и любая отрицательная дробь, так как, например, можно записать так: .

Числа тоже рациональные числа, так как

Сумма, разность и произведение рациональных чисел тоже рациональные числа.

Например:

Если делитель отличен от нуля, то частное двух рациональных чисел тоже рациональное число.

Например: .

Вы уже умеете выражать некоторые обыкновенные дроби в виде десятичных дробей.

Например, = 0,28, так как 7 : 25 = 0,28.

Не все обыкновенные дроби можно представить в виде десятичной дроби.

Например, если будем делить 1 на 3, то получим сначала нуль целых, потом три десятых, а далее при делении всё время будут повторяться остаток 1 и в частном цифра 3.

Деление никогда не кончится. Значит, дробь нельзя представить в виде десятичной дроби. Но если разрешить писать бесконечные десятичные дроби, то = 0,333...

Разделив 5 на 11, получим, что = 0,454545..., а разделив 1 на 15, получим, что = 0,0666...

В записях 0,333..., 0,4545... и 0,0666... одна или несколько цифр начинают повторяться бесконечно много раз. Такие записи называют периодическими дробями.

Вместо 0,333... пишут 0,(3), вместо 0,4545... пишут 0,(45), а вместо 0,0666... пишут 0,0(6).

Любое рациональное число можно записать либо в виде десятичной дроби (в частности, целого числа), либо в виде периодической дроби.

Для дроби = 0,333... число 0,3 является приближённым значением до десятых с недостатком: 0,3 < . Число 0,4 является приближённым значением этой дроби до десятых с избытком: < 0,4. Таким образом, 0,3 < < 0,4.

Если число = 0,4545... округлить до десятых, то получим ≈ 0,5, если это число округлить до сотых, то получим ≈ 0,45, а если округлить до тысячных, то ≈ 0,455.

Вопросы для самопроверки

Какие числа называют рациональными?
Покажите, что любое целое число является рациональным числом.
Покажите, что любая десятичная дробь является рациональным числом.
Какими числами являются сумма, разность, произведение рациональных чисел?
Всегда ли частное двух рациональных чисел является рациональным числом?
Какая запись числа называется периодической дробью?

Выполните упражнения

1178. Представьте в виде (где а — целое число, а п — натуральное число) следующие числа:

1179. Представьте в виде (где а — целое число, а n — натуральное число):

а) суммы
б) произведения ;
в) частные .

1180. Выразите в виде десятичной или периодической дроби числа

1181. Какие из дробей можно представить в виде десятичной дроби?

1182. Проверьте, что следующие равенства верны:

Выражение можно прочитать разными способами:

— частное икс и игрек,

— дробь с числителем мтсс и знаменателем игрек,

— дробь: икс, делённый на игрек.

Бесконечные десятичные дроби читают так:

0,666... — ноль целых шестьсот шестьдесят шесть тысячных и так далее,

0,(6) — ноль целых и шесть в периоде,

2,5333... — две целых пять тысяч триста тридцать три десятитысячных и так далее,

2,5(3) — две целых пять десятых и три в периоде.

1183. Для дробей найдите десятичные приближения с недостатком и с избытком:

а) до десятых;
б) до сотых.

Запишите ответ в виде двойного неравенства.

1184. Выразите дроби в виде приближённого значения десятичной дроби до сотых.

1185. Вычислите устно:

1186. Одинаковы ли знаки чисел х и у, если верно неравенство:

а) xу < 0;
б) ху > 0;
в) ху < -3;
г) ху > 5?

1187. При каких значениях m верно равенство:

а) |m| = m;

б) |m| = -m;

в) -m = |-m|;

г) m = |-m|;

д) m = -m;

е) m + |m| = 0;

ж) m + |m| = 2m;

з) m - |m| = 2m?

1188. Может ли быть верным равенство а : b = b : а?

Как доказать, что утверждение «Равенство а : b = b : а верно при любых значениях а и b» несправедливо?

1189. Отметьте на координатной прямой точки с целыми координатами:

а) модуль которых больше 3 и меньше 7,1;
б) кратными двум, модуль которых больше 5 и меньше 10 .

1190. Выполните деление:

1191. Можно ли привести дробь к знаменателю 20; 24; 45; 75; 80; 100; 1000?

1192. Можно ли привести к знаменателю 60 дроби:

1193. Можно ли представить в виде десятичной дроби числа

1194. Можно ли привести к знаменателю 100 дробь , если m = 2; 25; 3; 4?

1195. Найдите значение выражения:

1196. Представьте в виде (где а — целое, а n — натуральное число):

а) сумму и сумму 3,9 - 4,7;
б) произведение и произведение -5,6 • (-1,2);
в) частное -7,5 : (-0,25) и частное -0,8 : (-0,6).

1197. Проверьте, что верно равенство:

1198. Выразите дроби в виде приближённого значения десятичной дроби, округлив результат до тысячных.

1199. Два мальчика идут навстречу друг другу. Сейчас между ними 12 км. Скорость одного из них составляет скорости другого. Найдите скорость движения каждого мальчика, если известно, что они встретятся через 1,5 ч.

1200. Найдите значение выражения:

а) (-0,8 • 1,2 + 1,06) : (-0,5);
б) (-30,15 : 15 + 0,91) • (-2,4).