Учебник для 6 класса

Математика

       

24. Длина окружности и площадь круга

Возьмём круглый стакан, поставим на лист бумаги и обведём его карандашом. На бумаге получится окружность. Если «опоясать» стакан ниткой, а потом распрямить её, то длина нитки будет приближённо равна длине нарисованной окружности (рис. 39).

Рис. 39

Длина окружности прямо пропорциональна длине её диаметра. Поэтому для всех окружностей отношение длины окружности к длине её диаметра является одним и тем же числом. Его обозначают греческой буквой π (читается: «пи»). Если обозначить длину окружности буквой С, а длину диаметра буквой d, то С : d = π. Поэтому С = πd.

Так как диаметр окружности вдвое больше её радиуса, то длина окружности с радиусом r равна 2πr.

Получили другую формулу длины окружности:

С = 2 πr.

Подсчёты показали, что с точностью до десятитысячных π = 3,1416. Если значение округлить до сотых, то получим значение 3,14. Примерно такую же точность даёт значение π = . В старших классах будет рассказано, как проводились такие подсчёты.

На рисунке 40 изображены круг и два в квадрата ABCD и EFKM. Радиус круга равен r, поэтому длина стороны квадрата ABCD равна 2r, а его площадь 4r2.

Рис. 40

Площадь треугольника EOF вдвое меньше площади квадрата AEOF, поэтому площадь EFKM вдвое меньше площади К квадрата ABCD, т. е. равна 2r2. Площадь круга S больше площади квадрата EFKM, но меньше площади квадрата ABCD:

2r2 < S < 4r2.

Примерно площадь круга равна 3r2. Можно доказать, что

S = πr2.

Вопросы для самопроверки

  • Напишите формулы для нахождения длины окружности по длине её диаметра и по длине её радиуса.
  • Пропорциональна ли длина окружности длине её радиуса?
  • Напишите формулу площади круга.
  • Пропорциональна ли площадь круга длине его радиуса?

Выполните упражнения

847. Найдите длину окружности, радиус которой равен 24 см; 4,7 дм; 18,5 м. Число π округлите до сотых.

Формулы длины окружности и площади круга читаются так:

    С = πd — цэ равно пи дэ;

    С = 2πr — цэ равно двум пи эр;

    S = πr2 — эс равно пи эр квадрат.

Выражение π ≈ 3,14 читают:

    «Пи приближённо равно трём целым четырнадцати сотым».

848. Чему равна длина окружности, если её радиус равен 1,54 м; 5,67 дм? Значение числа π возьмите равным .

849. Диаметр долгоиграющей пластинки равен 50 см. Найдите длину окружности этой пластинки. Число π округлите до десятых.

850. Выполните необходимые измерения и найдите длину половины окружности, изображённой на рисунке 41.

Рис. 41

851. Определите диаметр окружности, если её длина равна 56,52 дм; 37,68 см (π = 3,14).

852. Колесо на расстоянии 380 м сделало 150 оборотов. Найдите диаметр колеса. Результат округлите до сотых метра (π = 3,14).

853. Измерьте радиус и вычислите площадь каждого круга на рисунке 42.

Рис. 42

854. Окружность арены во всех цирках мира имеет длину 40,8 м. Найдите диаметр и площадь арены (π = 3).

855. Диаметр циферблата кремлёвских курантов 6,12 м, длина минутной стрелки 2,54 м. Найдите площадь циферблата. Какой путь проходит конец минутной стрелки курантов за час? Ответы округлите до сотых долей метра.

856. Выполните измерения и вычислите площадь каждой заштрихованной фигуры на рисунке 43.

Рис. 43

857. По рисунку 44 найдите площадь пятиугольника OABCD. Сравните её с площадью четверти круга, радиус OD которого равен 5 см.

Рис. 44

858. Вычислите устно:

859. Какой знак действия надо поставить вместо *, чтобы получилось верное равенство:

860. Некоторое число вычли из числителя и прибавили к знаменателю дроби . После сокращения получили дробь . Найдите это число.

861. Масштаб карты 1 : 100 000. Заполните таблицу:

862. Запишите масштаб карты, если отрезок на местности в 1 км изображается на карте отрезком 10 см.

863. Запишите масштаб рисунка, если он изображает фигуру, увеличивая её в 50 раз.

864. Решите задачу, составив пропорцию:

  1. В 2,5 кг баранины содержится 0,4 кг белков. Сколько килограммов белков содержится в 3,2 кг баранины?
  2. В 6,5 кг свинины содержится 2,6 кг жиров. Сколько жиров содержится в 10,5 кг такой свинины?

865. Вычислите:

866. На рисунке 45 изображён план двухкомнатной квартиры в масштабе 1 : 200. Определите по плану сумму площадей двух жилых комнат (I и II) и площадь, которую занимают остальные помещения этой квартиры.

Рис. 45

867. С помощью тонкой нити измерьте длину какой-нибудь окружности (на стакане, ведре, тарелке), измерьте длину диаметра. Найдите отношение длины окружности к длине диаметра и сравните полученный результат с числом π.

868. Найдите длину окружности, если её радиус равен 36 см; 0,44 см; 125 км. (Число π округлите до сотых.)

869. Диаметр колеса тепловоза равен 180 см. За 2,5 мин колесо сделало 500 оборотов. С какой скоростью идёт тепловоз?

870. Выполните измерения и вычислите площадь каждой заштрихованной фигуры (рис. 46).

Рис. 46

871. Рабочий выполнил работы за 9 ч. За какое время он выполнит работы, если будет работать с той же производительностью?

872. Ведро вмещает 6 л бензина. В такое же ведро вместо бензина налито равное (по массе) количество дёгтя. Сколько литров дёгтя налито в ведро, если масса 1 л бензина 0,8 кг, а масса 1 л дёгтя 1,2 кг?

873. Найдите неизвестный член пропорции:

 

Top.Mail.Ru
Рейтинг@Mail.ru