Учебник для 6 класса

Математика

   

1. Делители и кратные

20 яблок можно разделить поровну между 4 ребятами. Каждый получит по 5 яблок. А если надо разделить (не разрезая) 20 яблок между 6 ребятами, то каждый получит по 3 яблока, а ещё 2 яблока останутся. Говорят, что число 4 является делителем числа 20, а число 6 не является делителем числа 20.

Делителем натурального числа а называют натуральное число, на которое а делится без остатка.

Число 12 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 4, 6 и 12.

Число 1 является делителем любого натурального числа.

Пусть на столе лежат пачки, в каждой из которых по 8 печений. Не раскрывая пачек, можно взять 8 печений, 16 печений, 24 печенья, а 18 печений так взять нельзя. Числа 8, 16, 24 делятся на 8, а 18 на 8 не делится. Говорят, что числа 8, 16, 24 кратны числу 8, а число 18 не кратно числу 8.

Кратным натурального числа а называют натуральное число, которое делится без остатка на а.

Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных. Например, первые пять чисел, кратных 8, такие: 8, 16, 24, 32, 40. Наименьшим из кратных натурального числа является само это число.

Вопросы для самопроверки

  • Какое число называют делителем данного натурального числа?
  • Какое число называют кратным натуральному числу а?
  • Какое число является делителем любого натурального числа?
  • Какое число и кратно n, и является делителем n?

Выполните упражнения

1. На сколько равных кучек можно разложить 36 орехов?

2. В каждой коробке лежат 6 чайных ложек. Можно ли, не вскрывая коробок, взять:

  • а) 42 ложки;
  • б) 49 ложек?

3. Верно ли, что:

  • а) 5 — делитель 45;
  • б) 16 — делитель 8;
  • в) 17 — делитель 152;
  • г) 27 — кратное 3;
  • д) 6 — кратное 12;
  • е) 156 — кратное 13?

Следите за верным употреблением слов кратно и кратное (в значении существительного).

Кратно (какому числу?):

— число пятнадцать кратно числу три (или: пятнадцать кратно трём).

Кратное (какого числа?):

— число пятнадцать — кратное числа три (или: пятнадцать — кратное трёх).

— числа девять, двенадцать, пятнадцать — кратные трёх.

Слово делитель употребляется с родительным падежом зависимого слова:

— число шесть — делитель числа тридцать (или: шесть — делитель тридцати),

делители одиннадцати — числа один и одиннадцать.

Слова делится (без остатка) и кратно заменяют друг друга:

— сорок пять делится на девять,

— сорок пять кратно девяти.

4. Является ли число 15 делителем 105? Является ли делителем числа 105 частное 105 : 15?

5. Выберите из чисел 15, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 те, которые являются:

  • а) делителями 20;
  • б) кратными 4;
  • в) делителями 16 и кратными 4;
  • г) кратными 3 и делителями 18.

6. Напишите все делители числа:

  • а) 6;
  • б) 18;
  • в) 25;
  • г) 19.

7. Напишите все двузначные числа, кратные числу:

  • а) 8;
  • б) 11;
  • в) 48;
  • г) 99.

8. В спортивном празднике участвовали 90 школьников. Могут ли они на заключительном параде построиться: в две одинаковые шеренги? в пять одинаковых шеренг? в одиннадцать одинаковых шеренг? в колонну по шесть человек в ряд?

9. Докажите, что число 70 525 кратно числу 217, а число 729 является делителем числа 225 261.

10. На координатном луче отмечено число а (рис. 1). Отметьте на этом луче четыре числа, кратных числу а.

Рис. 1

11. Проверьте, что каждое из чисел 6, 28, 496 равно сумме всех его делителеи, не считая самого числа.

12. Проверьте, что каждое из чисел 220 и 284 равно сумме делителей другого числа, не считая его самого.

13. Докажите, что произведение двух натуральных чисел кратно каждому из множителей.

14. На рисунке 2 изображён в натуральную величину один кадр фотоплёнки. Каких размеров получится фотография при пятикратном увеличении? Уместится ли изображение этого кадра при десятикратном увеличении на листе бумаги, размер которого 24 х 30 см?

Рис. 2

15. Вычислите устно:

16. Найдите пропущенные числа:

17. На координатном луче отмечены числа 1 и m (рис. 3). С помощью циркуля отметьте на луче числа: m + 1; m - 1; m + m.

Рис. 3

18. Даны три числовых выражения и три программы вычисления их значений на микрокалькуляторе. Укажите, какая программа соответствует каждому из данных выражений:

а) 16,2 • 0,8 + 1,4;

б) 16,2 + 0,8 • 1,4;

в) 16,2 • (0,8 + 1,4).

1)0,8 [ + ] 1,4 [ X ] 16,2 [ = ];

2) 16,2 [ X ] 0,8 [ + ] 1,4 [ = ];

3) 0,8 [ X ] 1,4 [ + ] 16,2 [ = ].

19. Найдите неполное частное и остаток при делении:

  • а) 243 на 15;
  • б) 3629 на 12;
  • в) 1075 на 29; г)
  • 1632 на 51.

20. Найдите остаток от деления:

  • а) 273 на 10;
  • б) 3785 на 2;
  • в) 3843 на 5;
  • г) 4236 на 5;
  • д) 100 на 3;
  • е) 1000 на 9.

21. При делении числа а на число b получили неполное частное с и остаток г. С помощью формулы а = bс + г заполните пустые клетки таблицы.

22. Выполните действие:

23. Государственные флаги многих стран состоят из горизонтальных или вертикальных полос разных цветов. Сколько могло бы быть различных государственных флагов, состоящих из двух горизонтальных полос одинаковой ширины и разного цвета — белого, красного и синего?

Решение. Пусть верхняя полоса флага — белая (Б). Тогда нижняя полоса может быть красной (К) или синей (С). Получили две комбинации — два варианта флага.

Если верхняя полоса флага — красная, то нижняя может быть белой или синей. Получили ещё два варианта флага.

Пусть, наконец, верхняя полоса — синяя, тогда нижняя может быть белой или красной. Это ещё два варианта флага.

Всего получили 3 • 2 = 6 комбинаций — шесть вариантов флага (см. схему).

Для решения этой задачи мы рассмотрели все возможные варианты расположения цветных полос на флаге, или все возможные комбинации. Такие задачи называют комбинаторными, а раздел математики, занимающийся подобными задачами, — комбинаторикой.

24. Сколько существует флагов, составленных из трёх горизонтальных полос одинаковой ширины и различных цветов — белого, зелёного, красного и синего? Есть ли среди этих флагов Государственный флаг Российской Федерации?

25. Решите задачу:

  1. В первом мешке было 54,4 кг крупы, во втором — в 1,7 раза меньше, чем в первом, а в третьем — на 2,6 кг больше, чем во втором. Сколько килограммов крупы было в трёх мешках вместе?
  2. На первую машину погрузили 4,5 т картофеля, на вторую — в 1,4 раза больше, чем на первую, а на третью — на 1,6 т меньше, чем на вторую. Сколько тонн картофеля погрузили на все три машины вместе?

26. Найдите все делители числа 30 и запишите их в порядке возрастания.

27. Выберите из чисел 14, 21, 31, 42, 51, 63, 68, 75 те, которые:

  • а) кратны 7;
  • б) кратны 17;
  • в) не кратны 8;
  • г) не кратны 2.

28. Выполните деление с остатком: 385 : 13; 548 : 12; 3710 : 30.

29. Площадь первого поля 27,3 га. Площадь второго поля на 4,8 га меньше площади первого, а площадь третьего поля в 1,6 раза больше площади второго. Чему равна площадь всех трёх полей вместе?

30. Выполните действия:

  • а) 18,36 + 0,64 : 0,8;
  • б) 80 • 11 - 42 558 : 519;
  • в) 3,44 : 0,4 + 24,56;
  • г) 684 • 245 - 675 • 246.

 

Top.Mail.Ru
Рейтинг@Mail.ru