Учебник для 5 класса

МАТЕМАТИКА

29. Сложение и вычитание смешанных чисел

Сложение и вычитание смешанных чисел выполняется на основе свойств этих действий.

Задача 1. На столе лежали плитки шоколада. Сколько плиток шоколада будет лежать на столе, если на него положить ещё плитки (рис. 134)?

Рис. 134

Решение. Чтобы решить задачу, надо сложить числа и .

Так как

то

Пишут короче:

Значит, на столе будут лежать плитки шоколада.

Задача 2. На тарелке лежали плитки шоколада. Сколько останется плиток шоколада на тарелке, если плитки съедят (рис. 135)?

Рис. 135

Решение. Чтобы решить задачу, надо из вычесть . Имеем:

Пишут короче:

При сложении (и вычитании) чисел в смешанной записи целые части складывают (вычитают) отдельно, а дробные — отдельно.

Иногда при сложении смешанных чисел в их дробной части получается неправильная дробь. В этом случае из неё выделяют целую часть и добавляют её к уже имеющейся целой части.

Например:

Если при вычитании смешанных чисел дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, поступают так:

Обычно пишут короче:

Таким же образом поступают и при вычитании дроби из натурального числа, и при вычитании смешанного числа из натурального числа.

Например:

Вопросы для самопроверки

Как складывают и как вычитают смешанные числа?

Выполните упражнения

1115. В одной коробке кг конфет, а в другой коробке кг. Сколько килограммов конфет в этих двух коробках?

1116. Чему равна длина белой ленты, если длина красной ленты , а белая лента на короче красной?

1117. Выполните действия:

1118. Найдите значение выражения:

1119. На базу привезли яблоки на двух грузовиках. На первом было т яблок, а на втором — на меньше. Сколько тонн яблок привезли на базу? Выразите ответы в центнерах.

1120. Два шахматиста сыграли две партии: первая партия продолжалась ч, а вторая — на ч больше. Сколько часов продолжалась игра? Выразите продолжительность игры в минутах.

1121. Вычислите устно:

1122. Восстановите цепочку вычислений:

1123. Каковы координаты точек, отмеченных на рисунке 136? Чему равно расстояние (в единичных отрезках) между точками: О и Е, О и К, О и С, D и С, А и Е, М и E? Сравните координаты точек С и D, С и Е, М и К, N и А, А и В.

Рис. 136

1124. Между какими натуральными числами на координатном луче расположены смешанные числа:

1125. При каких значениях а частное 12 : а будет:

а) натуральным числом;
б) неправильной дробью;
в) правильной дробью?

Ответьте на те же вопросы для частного а : 6.

1126. Составьте задачу по уравнению:

1127. По рисунку 137 составьте уравнение и решите его.

Рис. 137

1128. В старинных книгах можно встретить такие названия дробей: пол, полтина, пятина, седьмина, — десятина. Подумайте, как появились следующие названия: — четь, — полчёти, — полполчети, — полполполчети (малая четь). Дробь называли «треть». Попробуйте догадаться, как называли дроби .

Подумайте, почему смешанные числа называли: — полвтора, — полтретья, — полчетверта, — полпяты, — полшесты и т. д.

Сохранился ли такой способ чтения в наше время?

1129. Из дробей

выделите целую часть, а смешанные числа

запишите в виде неправильных дробей.

1130. Выполните действия:

1131. Лесник прошёл 3 км и 4 ч ехал на лошади. С какой скоростью он ехал на лошади, если весь путь равен 34 км?

1132. Пошёл дождь. Под водосточную трубу поставили пустую бочку. В неё вливалось каждую минуту 8 л воды, а через щель в бочке выливалось 3 л воды в минуту. Сколько литров воды будет в бочке через 1 мин; 2 мин; 3 мин? Успеет ли бочка наполниться, если её объём 400 л, а дождь шёл 1 ч 10 мин?

1133. Легковой автомобиль движется со скоростью 70 км/ч, а грузовой — со скоростью 40 км/ч. Сейчас легковой автомобиль находится сзади грузовика на расстоянии 60 км. Оба автомобиля движутся в одном направлении. Какое расстояние будет между ними через 1 ч, через 2 ч, через 3 ч?

1134. Решите задачу:

В третьем классе 35 учеников. Из них умеют играть в шахматы. Сколько ребят в этом классе ещё не научились играть в шахматы?
В бригаде 15 человек. Из них владеют только одной специальностью, а остальные — двумя. Сколько человек в бригаде владеют двумя специальностями?

1135. Найдите значение выражения:

(38 • 35 - 35) : 259;
(43 • 21 + 1671) : 429.

1136. Выполните действия:

1137. Длина прямоугольника м, а ширина на м меньше длины. Найдите периметр прямоугольника.

1138. В один из дней зимних каникул мальчик ч катался на лыжах, а на коньках на ч меньше. Сколько всего времени он катался на лыжах и коньках?

1139. Верёвку длиной 256 м разрезали на две части, одна из которых в 7 раз длиннее второй. На сколько метров одна часть верёвки длиннее второй?

1140. В археологических раскопках древнего города участвовали две экспедиции. В первой было в три раза больше сотрудников, чем во второй. Когда во вторую экспедицию прибыли ещё 18 человек, то в двух экспедициях вместе стало 66 сотрудников. Сколько стало сотрудников во второй экспедиции?

1141. В куске 112 м материи. Из куска сшили детские костюмы. Сколько метров материи осталось?

1142. Площадь прямоугольника 616 м², а его длина 28 м. Найдите площадь такого квадрата, у которого периметр равен периметру прямоугольника.

1143. Выполните действия:

а) (936 : 24 + 32 • 14) : 487;
б) (43 • 56 + 43 • 44) : 215 - 15.

Рассказы об истории возникновения и развития математики

С древних времён людям приходилось не только считать предметы (для чего требовались натуральные числа), но и измерять длину, время, площадь, вести расчёты за купленные или проданные товары.

Не всегда результат измерения или стоимость товара удавалось выразить натуральным числом. Приходилось учитывать и части, доли меры. Так появились дроби.

В русском языке слово «дробь» появилось в VIII веке, оно происходит от глагола «дробить» — разбивать, ломать на части. В первых учебниках математики (в XVII веке) дроби так и назывались — «ломаные числа». У других народов название дроби также связано с глаголами «ломать», «разбивать», «раздроблять».

Современное обозначение дробей берёт своё начало в Древней Индии; его стали использовать и арабы, а от них в XII—XIV веках оно было заимствовано европейцами, вначале в записи дробей не использовалась дробная черта. Черта дроби стала постоянно использоваться лишь около 300 лет назад. Первым европейским учёным, который стал использовать и распространять современную запись дробен, был итальянский купец и путешественник, сын городского писаря Фибоначчи (Леонардо пизанский). В 1202 году он ввёл слово «дробь», названия «числитель» и «знаменатель» ввёл в XIII веке Максим Плануд — греческий монах, учёный-математик.