Учебник для 5 класса

МАТЕМАТИКА

15. Порядок выполнения действий

Сложение и вычитание чисел называют действиями первой ступени, а умножение и деление чисел — действиями второй ступени.

Порядок выполнения действий при нахождении значений выражений определяется следующими правилами:

Если в выражении нет скобок и оно содержит действия только одной ступени, то их выполняют по порядку слева направо.
Если выражение содержит действия первой и второй ступени и в нём нет скобок, то сначала выполняют действия второй ступени, потом — действия первой ступени.
Если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках (учитывая при этом правила 1 и 2).

Пример 1. Найдём значение выражения

800 - 625 + 331 + 87 - 119.

Это выражение не имеет скобок и содержит действия только первой ступени, поэтому следует выполнять действия по порядку слева направо: 800 - 625 = 175, 175 + 331 = 506, 506 + 87 = 593, 593 - 119 = 474.

Итак, значение выражения равно 474.

Пример 2. Найдём значение выражения

780 : 39 • 212 : 106 • 13.

Это выражение не содержит скобок, и в нём имеются действия только второй ступени, поэтому их следует выполнять по порядку слева направо: 780 : 39 = 20, 20 • 212 = 4240, 4240 : 106 = 40, 40 • 13 = 520.

Итак, значение выражения равно 520.

Пример 3. Найдём значение выражения

5781 - 28 • 75 : 25 + 156 : 12.

Это выражение не содержит скобок, и в нём есть действия первой и второй ступени. Поэтому вначале выполним действия второй ступени: 28 • 75 = 2100, 2100 : 25 = 84, 156 : 12 = 13, а потом действия первой ступени: 5781 - 84 = 5697, 5697 + 13 = 5710.

Значение выражения равно 5710.

Пример 4. Найдём значение выражения

36000 : (62 + 14 • 2) - 23 • 5.

Это выражение содержит скобки. Поэтому выполним сначала действия в скобках: 62 + 14 • 2 = 62 + 28 = 90.

Подставив это значение, получим: 36 000 : 90 - 23 • 5.

Вычислив значение последнего выражения, получим 285.

В выражениях, содержащих скобки, можно эти скобки не писать, если при этом порядок действий не изменяется.

Пример 5. Вместо (53 - 12) + 14 можно написать 53 - 12 + 14, так как в обоих случаях порядок действий одинаков: 53 - 12 = 41, 41 + 14 = 55.

Изменять порядок действий можно на основе свойств сложения, вычитания и умножения.

Каждое выражение задаёт программу своего вычисления. Она состоит из команд.

Например, программа вычисления выражения

(814 + 36 • 27) : (101 - 2052 : 38)

состоит из следующих команд:

Перемножить числа 36 и 27.
Сложить 814 с результатом выполнения команды 1.
Разделить 2052 на 38.
Вычесть из 101 результат выполнения команды 3.
Разделить результат команды 2 на результат команды 4.

Эту программу вычислений можно изобразить в виде схемы (рис. 58). Последовательно выполнив действия и заполнив при этом пустые клетки, получим в нижней клетке ответ.

Рис. 58

Вопросы для самопроверки

Какие действия относятся к действиям первой ступени и какие — к действиям второй ступени?
В каком порядке выполняют действия в выражении без скобок, если в него входят действия одной и той же ступени; все арифметические действия?
В каком порядке выполняют действия в выражениях со скобками?

Выполните упражнения

627. Найдите значение выражения:

а) 48 - 29 + 37 - 19;
б) 156 + 228 - 193 - 66;
в) 39 • 45 : 65 • 2;
г) 1024 : 128 • 15 : 10;
д) 245 : 7 - 224 : 16 + 35 • 11;
е) 322 : 23 • 70 - 161 • 9 : 69;
ж) 315 : (162 + 12 • 24 - 11 • 39) + 558 : 31;
з) (24 • 7 - 377 : 29) • (2378 : 58 - 38);
и) (120 + 16 • 7) • 240 : (300 - 5 • 44);
к) (372 + 118 • 6) : (38 • 35 - 34 • 37) - 12;
л) 3124 : (3 • 504 - 4 • 307) + 10 403 : 101;
м) 15 + (12 322 : (24 + 37) - 12 • 15) : (35 • 2 - 59).

628. Измените порядок действий на основании свойств сложения, вычитания и умножения для удобства вычислений:

а) 348 + 54 + 46;
б) 543 + 89 - 43;
в) 427 - 33 - 67;
г) 54 • 2 • 50;
д) 34 • 8 + 66 • 8;
е) 135 • 12 - 35 • 12.

629. Запишите выражение по следующей программе вычислений:

Сложить числа 215 и 748.
Вычесть из 591 число 318.
Перемножить результаты команд 1 и 2.

Найдите значение этого выражения.

630. Составьте программу вычисления выражения

381 • 29 - 7248 : 24

и найдите значение этого выражения.

631. Выполните действия по схеме (рис. 59).

Рис. 59

632. Составьте схему вычисления и найдите значение выражения:

а) 86 • 12 : 8 + 1414 : 14;
б) (32 • 15 - 250) : 46 + (180 : 12 - 8) • 9.

633. Восстановите цепочку вычислений:

634. Вычислите устно:

635. Решите уравнение:

а) х + 20 = 37;
б) у + 37 = 20;
в) а - 37 = 20;
г) 20 - m = 37;
д) 37 - с = 20;
е) 20 + к = 0.

636. При вычитании каких натуральных чисел может получиться 12? Сколько пар таких чисел? Ответьте на те же вопросы для умножения и для деления.

637. Даны три числа: первое — трёхзначное, второе — значение частного от деления шестизначного числа на десять, а третье — 5921. Можно ли указать наибольшее и наименьшее из этих чисел?

638. Упростите выражение:

а) 2а + 612 + 7а + 324;
б) 12 у + 29 у + 781 + 219;
в) 38 + 5а + 75 + 6а;
г) 612 - 212 + 7m + 3m.

639. Решите уравнение:

а) 8х - 7х + 10 = 12;
б) 13у + 15у - 24 = 60;
в) Зz - 2z + 15 = 32;
г) 6t + 5t - 33 = 0;
д) (х + 59) : 42 = 86;
е) 528 : к - 24 = 64;
ж) р : 38 - 76 = 38;
з) 43m - 215 = 473;
и) 89n + 68 = 9057;
к) 5905 - 27v = 316;
л) 34s - 68 = 68;
м) 54b - 28 = 26.

640. Животноводческая ферма обеспечивает привес 750 г на одно животное в сутки. Какой привес получает комплекс за 30 дней на 800 животных?

641. В двух больших и пяти маленьких бидонах 130 л молока. Сколько молока входит в маленький бидон, если его вместимость в четыре раза меньше вместимости большого?

642. Собака увидела хозяина, когда была от него на расстоянии 450 м, и побежала к нему со скоростью 15 м/с. Какое расстояние между хозяином и собакой будет через 4 с; через 10 с; через t с?

643. Решите с помощью уравнения задачу:

У Михаила в 2 раза больше орехов, чем у Николая, а у Пети в 3 раза больше, чем у Николая. Сколько орехов у каждого, если у всех вместе 72 ореха?
Три девочки собрали на берегу моря 35 ракушек. Галя нашла в 4 раза больше, чем Маша, а Лена — в 2 раза больше, чем Маша. Сколько ракушек нашла каждая девочка?

644. Составьте программу вычисления выражения

8217 + 2138 • (6906 - 6841) : 5 - 7064.

Запишите эту программу в виде схемы. Найдите значение выражения.

645. Напишите выражение по следующей программе вычисления:

Умножить 271 на 49.
Разделить 1001 на 13.
Результат выполнения команды 2 умножить на 24.
Сложить результаты выполнения команд 1 и 3.

Найдите значение этого выражения.

646. Напишите выражение по схеме (рис. 60). Составьте программу его вычисления и найдите его значение.

Рис. 60

647. Решите уравнение:

а) Зх + 5х + 96 = 1568;
б) 3572 - 1492 - 1843 = 11 469;
в) 2у + 7у + 78 = 1581;
г) 256m - 147m - 1871 = 63 747;
д) 88 880 : 110 + х = 809;
е) 6871 + р : 121 = 7000;
ж) 3810 + 1206 : у = 3877;
з) k + 12 705 : 121 = 105.

648. Найдите частное:

а) 1 989 680 : 187;
б) 572 163 : 709;
в) 9 018 009 : 1001;
г) 533 368 000 : 83 600.

649. Теплоход 3 ч шёл по озеру со скоростью 23 км/ч, а потом 4 ч по реке. Сколько километров прошёл теплоход за эти 7 ч, если по реке он шёл на 3 км/ч быстрее, чем по озеру?

650. Сейчас расстояние между собакой и кошкой 30 м. Через сколько секунд собака догонит кошку, если скорость собаки 10 м/с, а кошки — 7 м/с?

651. Найдите в таблице (рис. 61) все числа по порядку от 2 до 50. Это упражнение полезно выполнить несколько раз; можно соревноваться с товарищем: кто быстрее отыщет все числа?

Рис. 61