Учебник для 5 класса

МАТЕМАТИКА

7. Вычитание

Задача. Пешеход за два часа прошёл 9 км. Сколько он прошёл за первый час, если его путь за второй час равен 4 км?

В этой задаче число 9 является суммой двух чисел, одно из которых равно 4, а другое неизвестно.

Действие, с помощью которого по сумме и одному из слагаемых находят другое слагаемое, называют вычитанием.

Так как 5 + 4 = 9, то искомое слагаемое равно 5. Значит, за первый час пешеход прошёл 5 км. Пишут: 9 - 4 = 5.

Число, из которого вычитают, называют уменьшаемым, а число, которое вычитают, — вычитаемым.

Результат вычитания называют разностью.

При вычитании 9 - 4 = 5 число 9 — уменьшаемое, 4 — вычитаемое, 5 — разность.

На рисунке 35 вычитание 4 из 9 показано на координатном луче.

Рис. 35

В следующих примерах результаты вычислений одинаковы:

12 - (3 + 2) = 12 - 5 = 7;

(12 - 3) - 2 = 9 - 2 = 7.

1. Для того чтобы вычесть сумму из числа, можно сначала вычесть из этого числа первое слагаемое, а потом из полученной разности — второе слагаемое.

Это свойство называют свойством вычитания суммы из числа (рис. 36).

В следующих примерах результаты вычисления тоже одинаковы:

(6 + 3) - 2 = 9 - 2 = 7;

6 + (3 - 2) = 6 + 1 = 7;

(6 - 2) + 3 = 4 + 3 = 7.

2. Чтобы из суммы вычесть число, можно вычесть его из одного слагаемого, а к полученной разности прибавить другое слагаемое.

Конечно, вычитаемое число должно быть меньше слагаемого, из которого его вычитают, или равно ему.

Это свойство называют свойством вычитания числа из суммы (рис. 37).

Рис. 37

Так как 6 + 0 = 6, то по смыслу вычитания имеем: 6 - 0 = 6 (рис. 38) и 6 - 6 = 0 (рис. 39).

Рис. 38

Рис. 39

3. Если из числа вычесть нуль, оно не изменится.

4. Если из числа вычесть это число, получится нуль.

Вопросы для самопроверки

• Какое действие называют вычитанием?
• Какое число называют уменьшаемым, а какое — вычитаемым?
• Как называют результат вычитания?
• Как узнать, на сколько одно число больше другого?
• Изобразите на координатном луче вычитание числа 3 из 8.
• Сформулируйте свойство вычитания суммы из числа.
• Сформулируйте свойство вычитания числа из суммы.
• Поясните эти свойства вычитания на координатном луче.

Выполните упражнения

242. Назовите число, предшествующее числу 27. Найдите разности: 97 - 1; 247 - 1; 1000 - 1. Сделайте вывод.

243. Найдите разность 67 - 19. Сколько раз надо вычесть 1 из числа 67, чтобы получить 48?

244. Объясните, что значит вычесть:

• а) число 240 из числа 870;
• б) из числа 61 число 38;
• в) число 2200 из числа 2200;
• г) число 0 из числа 9841.

245. Если возможно, выполните вычитание:

• а) 320 - 67;
• б) 986 - 986;
• в) 9 875 110 - 9 875 124;
• г) 0 - 56;
• д) 714 - 0;
• е) 14 890 564 - 14 890 563.

Почему нельзя выполнить вычитание в некоторых случаях?

246. Автомобиль должен пройти 863 км. В первый день он прошёл 487 км. Сколько километров ему осталось пройти?

247. Точка С лежит на отрезке АВ. Найдите длину отрезка АС, если АВ = 38 см, а СВ = 29 см.

248. Масса 1 л воды равна 1 кг, а 1 л бензина — на 270 г меньше. Найдите массу 1 л бензина.

249. Один станок-автомат изготовил 1235 деталей, а второй — 1645 деталей. На сколько деталей второй станок изготовил больше, чем первый?

250. С двух участков земли собрали 96 мешков картофеля. С первого участка собрали 54 мешка. На сколько мешков картофеля меньше собрали со второго участка, чем с первого?

251. От рулона проволоки отрезали 39 м, после чего в нём осталось 79 м. Сколько метров проволоки было в рулоне?

252. Кит длиннее, чем акула, на 20 м. Какова длина акулы, если длина кита 33 м?

253. Начертите координатный луч и отметьте на нём точку М(12). Отсчитайте от этой точки влево 7 единичных отрезков и отметьте точку Т. Найдите координату точки Т.

254. Начертите координатный луч и отметьте на нём точки В(3) и С(10). Сколько единичных отрезков надо отсчитать от точки Сив какую сторону, чтобы получить точку В?

255. Изобразите на координатном луче вычитание:

• а) 8 - 5;
• б) 8 - 7;
• в) 8 - 8.

256. Выполните вычитание:

• а) 1237 - 159;
• б) 3000 - 981;
• в) 54 273 - 37 884;
• г) 43 156 - 8976;
• д) 19 543 891 - 9 865 123;
• е) 100 000 000 - 12 345 678.

В задании в) выполните проверку сложением, а в задании г) выполните проверку вычитанием.

257. Замените звёздочки цифрами:

258. Выполните действия:

• а) 5387 - 4879 + 3697;
• б) 2534 + 3897 - 2529;
• в) 5307 + 3001 - 1892;
• г) 7301 - 2514 + 3829.

259. В первом вагоне трамвая ехали 46 пассажиров, а во втором — 39 пассажиров. На остановке из второго вагона вышли 15 пассажиров. Сколько всего пассажиров осталось в трамвае? Решите задачу двумя способами.

260. На первой остановке из автобуса вышли 5 человек, а на второй — 11 человек. Сколько человек осталось в автобусе, если вначале в нём было 49 человек? Решите задачу двумя способами.

261. В троллейбусе ехали 47 пассажиров. На остановке 12 пассажиров вышли и 15 вошли. Сколько стало пассажиров в троллейбусе? Решите задачу двумя способами.

262. Найдите значение выражения, применяя для упрощения вычислений свойства вычитания:

• а) 3189 - (1189 + 1250);
• б) 9862 - (1000 + 3541);
• в) 2478 + 8265 - 4265;
• г) 1275 + (3325 - 2980).

263. Длина отрезка АВ равна 37 см. Точки С и D лежат на отрезке АВ, причём точка D лежит между точками С и В. Найдите длину отрезка СВ, если:

• а) АС = 12 см, DB = 17 см;
• б) AD = 26 см, СВ = 18 см.

264. Длина прямоугольного участка земли 294 м, а ширина на 113 м меньше длины. Найдите периметр этого участка.

265. Периметр четырёхугольника ABCD равен 100 см. Сторона АВ равна 41 см, сторона ВС короче стороны АВ на 18 см, но длиннее стороны CD на 6 см. Найдите длину стороны AD.

266. Школьники помогали в уборке моркови и работали 4 дня. В первый день они собрали на 230 кг больше, чем во второй день, и на 150 кг больше, чем в третий день. В третий день они собрали на 259 кг меньше, чем в четвёртый. Сколько килограммов моркови собрали школьники за все 4 дня, если в первый день они собрали 650 кг?

267. В велогонке Дима, Саша, Андрей и Вася заняли со второго по пятое места. Саша обогнал Диму на 39 с, но отстал от Васи на 41 с. Андрей был впереди Васи на 12 с, но отстал от победителя на 13 с. В каком порядке финишировали мальчики и с каким отставанием от победителя?

Решение. Проиллюстрируем условие задачи с помощью рисунка. В соревнованиях участвовали Дима, Саша, Андрей и Вася. Кроме них в задаче говорится о «победителе». Отметим точками каждого из участников:

Если один из участников отстал от другого, будем на рисунке ставить стрелку от одного к другому: и указывать время отставания.

В задаче сказано, что «Саша обогнал Диму на 39 с». Это значит, что Дима отстал от Саши на 39 с:

Саша отстал от Васи на 41 с:

Андрей был впереди Васи на 12 с, значит, Вася отстал от Андрея на 12 с, и Андрей отстал от победителя на 13 с:

По рисунку видно, что первым финишировал Андрей, отстав от победителя на 13 с, за ним — Вася, отстав от победителя на (13 с + 12 с) = 25 с. Затем финишировал Саша с отставанием 25 с + 41 с = 66 с = 1 мин 6 с. И последним был Дима, отставший от победителя на 1 мин 6 с + 39 с = = 1 мин 45 с.

268. В соревнованиях по плаванию Света, Валя, Настя, Катя и Галя заняли со второго по шестое места. Катя на 3 с отстала от победительницы и на 2 с — от Насти, но обогнала Галю на 2 с. Валя на 3 с отстала от Гали, но обогнала Свету на 1 с. В каком порядке финишировали девочки и с каким отставанием от победительницы?

269. Сложите:

• а) два десятка и семь десятков;
• б) пять сотен и девять десятков;
• в) одну тысячу, пять десятков и шесть сотен.

270. Вычтите:

• а) из семи десятков четыре десятка;
• б) из трёх сотен пять десятков.

271. Умножьте:

• а) три десятка на два десятка;
• б) две сотни на три десятка.

272. Какое число стоит в конце цепочки?

273. Среди чисел 2683; 58 643; 2482; 132 752 найдите значение каждой из сумм:

1693 + 789; 57 854 + 789; 131 963 + 789; 1894 + 789.

274. Составьте условие задачи, решением которой служит выражение:

• а) 26 + 15 - 7;
• б) 53 - 4 - 11 + 5.

275. На координатном луче отмечены точки O(0), A(12), B(7). На сколько единичных отрезков отрезок ОА длиннее отрезка OB?

276. Проверьте, помните ли вы, что означают слова «отрезок», «прямая», «луч», «дополнительные лучи». Объясните значения этих слов.

277. Установите правило нахождения числа, стоящего в средней клетке первой строки, и по этому правилу вставьте в пустую клетку пропущенное число:

278. Как найти периметр прямоугольника; квадрата? Предложите разные способы. Какие из этих способов лучше?

279. На железнодорожной станции стояли 3 товарных состава. В первом составе было 30 вагонов, во втором — на 5 вагонов больше, чем в первом. Сколько всего вагонов было в этих трёх составах, если в первом из них было на 10 вагонов меньше, чем в третьем?

280. Выполните сложение:

• а) 28 999 ООО 145 + 39 001 789 259;
• б) 1 234 567 890 + 8 765 432 108.

281. Что больше:

• а) 7508 + 8534 или 17 000;
• б) 24 645 + 39 815 или 35 678 + 40 961?

282. Сравните числа, в которых некоторые цифры заменены звёздочками:

• а) 7**** и 69***;
• б) 85*** и 13***;
• в) ***** и ***;
• г) *8** и 99**.

283. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, если цифры в записи числа не повторяются? Запишите все эти числа.

284. Решите задачу:

1. Периметр треугольника 28 см, а периметр прямоугольника в 4 раза больше. На сколько сантиметров периметр треугольника меньше периметра прямоугольника?
2. Периметр треугольника 36 см, а периметр прямоугольника в 3 раза меньше. На сколько сантиметров периметр треугольника больше периметра прямоугольника?

285. Выполните действия:

1. 44 - 24 • 18 : 36;
2. 1863 : 23 • 11 - 2;
3. (83 • 250 - 14 918) : 54;
4. (3885 : 37 + 245) • 78.

286. От мотка лески отрезали 37 м. На сколько метров лески отрезали больше, чем её осталось в мотке, если первоначально в мотке было 54 м лески?

287. Проверьте с помощью сложения, правильно ли выполнено вычитание:

• а) 2379 - 1837 = 542;
• б) 3001 - 833 = 2168.

288. Выполните вычитание:

• а) 187 - 149;
• б) 589 - 399;
• в) 78 005 - 69906;
• г) 49 087 - 8391;
• д) 2 222 222 222 - 123 456 789;
• е) 1 234 567 890 - 98 765 432.

289. Точка В лежит между точками А и С, а точка А — между точками D и В. Найдите длину отрезка CD, если AD = 45 см, АВ на 3 см больше AD, а ВС на 17 см больше АВ.

290. Вычислите, выбирая удобный порядок действий:

• а) (6112 + 1596) - 496;
• б) (1823 + 846) - 1723;
• в) 95 837 - (95 137 + 198);
• г) (8593 + 1407) - 999.

291. Пассажирский поезд составлен из 12 вагонов по 58 мест в каждом. Сколько осталось свободных мест, если в поезде едут 667 пассажиров?

292. Зрительный зал имеет 360 мест. Сколько осталось свободных мест после того, как 8 групп по 42 человека в каждой заняли свои места?

293. Отметьте на координатном луче все точки, координаты которых — натуральные числа, меньшие 12 и большие 8.

294. Запишите названия животных в порядке возрастания их массы: курица — 1800 г, овца — 60 кг, индюк — 15 кг, слон — 4 т 5 ц, голубь — 400 г, верблюд — 7 ц.

295. Две бригады сшили 441 детский костюм, работая вместе. Первая бригада изготавливала 28 костюмов в час, а вторая — 21 костюм в час. Сколько часов бригады шили костюмы?

296. Выполните действия:

• а) 48 + 42 • 18 : 63 - 56;
• б) 36 + 95 - 205 • 48 : 164;
• в) (3539 + 5016 - 12 • 203) : 211;
• г) (2356 + 809 - 2841) • 106 : 159.