>>> Перейти на мобильный размер сайта >>>

Учебник для 5 класса

МАТЕМАТИКА

16. Степень числа. Квадрат и куб числа

Мы знаем, что сумму, в которой все слагаемые равны друг другу, можно записать короче — в виде произведения. Например, вместо З + З + З + З + З пишут 3 • 5. В этом произведении число 5 показывает, сколько слагаемых было в сумме.

Произведение, в котором все множители равны друг другу, тоже записывают короче: вместо 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 пишут 2⁶. Запись 2⁶ читают «два в шестой степени». В этой записи число 2 называют основанием степени, 2 число 6, которое показывает, сколько множителей было в произведении, — 2 показателем степени, а выражение 2⁶ называют степенью.

Пример 1. Запишем произведения в виде степени и найдём их значения:

3 • 3 • 3 • 3 = З⁴ = 81;
5 • 5 • 5 = 5³ = 125;
2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 2⁶ = 64.

Вторую степень числа часто называют иначе. Произведение 3 • 3 называют квадратом числа 3 и обозначают З².

Произведение n и n называют квадратом числа n и обозначают n² (читают: «эн в квадрате»). Итак, n² = n • n. Например, 17² = 17 • 17 = 289.

Таблица квадратов первых 10 натуральных чисел имеет следующий вид:

Третья степень числа также имеет и иное название. Произведение 4 • 4 • 4 называют кубом числа 4 и обозначают 4³.

Произведение n • n • n называют кубом числа n и обозначают n³ (читают: «эн в кубе»).

Итак, n³ = n • n • n.

Например, 8³ = 8 • 8 • 8 = 64 • 8 = 512.

Таблица кубов первых 10 натуральных чисел имеет вид:

Первую степень числа считают равной самому числу:

7¹ = 7, 16¹ = 16, 1¹ = 1.

Показатель степени 1 обычно не пишут.

Если в числовое выражение входят степени чисел, то их значения вы числяют до выполнения остальных действий.

Пример 2. Найдём значение выражения (4 + З)2 • 52 - 83 + 26. Решение.

(4 + З)² • 5² - 8³ + 26 = 7² • 25 - 512 + 64 =
= 49 • 25 - 512 + 64 = 1225 - 512 + 64 = 777.

Вопросы для самопроверки

Что такое квадрат числа?
Что такое куб числа?
Назовите основание и показатель степени: 6⁷, 12³, 4¹⁰, 15², 8¹.

Выполните упражнения

652. Составьте таблицу квадратов чисел от 11 до 20.

653. Представьте в виде степени произведение:

а) 6 • 6 • 6 • 6 • 6 • 6 • 6;
б) 25 • 25 • 25 • 25 • 25;
в) 73 • 73;
г) 11 • 11 • 11 • 11;
д) 9 • 9 • 9;
е) m • m • m • m • m • m;
ж) х • х • х;
з) у • у • у • у • у • у • у • у;
и) k • k;
к) n • n • n • n • n;
л) (х + 1)(х + 1)(х + 1);
м) (7 - n)(7 - n).

654. Представьте в виде произведения степень:

а) 7⁵;
б) 12⁴;
в) 15³;
г) 1000²;
д) 60⁷;
е) n⁹;
ж) k³;
з) а⁸;
и) х²;
к) (т + 2)⁴;
л) (а - 7)²;
м) (х + у)³.

655. Найдите значения: 25²; 100²; 10³; 11³; 12³; 15³.

656. Найдите значения степеней: 2⁵; 10⁶; 1²⁰; З⁴; 41¹; 4⁴.

657. Найдите значение выражения:

а) З² • 18;
б) 5 + 4²;
в) (5 + 4)²;
г) 5² + 4²;
д) 7 + 4³;
е) 7³ + 4;
ж) (7 + 4)³;
з) (7³ - 4³) : (7 - 4);
и) 5² • 2³;
к) 2⁵ + З⁴;
л) (30 : З)⁵ - 100³;
м) (10² - 2⁶) : 6 + 1¹⁰.

658. Пользуясь таблицами квадратов и кубов чисел, найдите значение п, если:

121 = n²; n² = 196; n² = 10 000; 125 = n³, n³ = 512.

659. Вычислите устно:

660. Угадайте корни уравнения:

а) х • х = 25;
б) у • у = 81;
в) а • а = 1;
г) b • b • b = 0.

661. Какие цифры заменены звёздочками?

Подумайте, какие уравнения пришлось решать для нахождения неизвестных цифр.

662. Каков порядок выполнения действий при вычислении значения выражения:

а) 160 + 37 - 20;
6) 90 - 60 : 15;
в) 80 - 15 + 25?

Если возможно, укажите другой порядок действий, приводящий к тому же результату.

663. Составьте выражение по следующей программе:

Разделить 58 344 на 429.
215 умножить на 48.
Сложить результаты команд 1 и 2.

Найдите значение получившегося выражения.

664. Составьте схему вычисления выражения:

(39 • 71 + 25 • 95) - (248 : 4 - 176 : 11).

665. Решите задачу:

Сумма двух чисел 549. Одно из них в 8 раз больше другого. Найдите эти числа.
Сумма двух чисел 378. Одно из них в 8 раз меньше другого. Найдите эти числа.
Разность двух чисел 342. Одно из них в 7 раз меньше другого. Найдите эти числа.
Разность двух чисел 516. Одно из них в 7 раз больше другого. Найдите эти числа.

666. Найдите значения: 18²; 5³; 13²; 20³; 40²; 30³.

667. Найдите значения: 2⁴; З³; 10⁵; 1¹²; 100⁴; 20⁶.

668. Найдите значение выражения:

а) 9² + 19;
б) 17² - 209;
в) 6³ : 3;
г) 2³ • З²;
д) (15 - 7)² : 2³;
е) (17 - 16)⁸ + 2⁵;
ж) 10⁶ - 20⁴;
з) З⁴ • 10⁴;
и) 5⁴ : 5².

669. Из Москвы и Ростова-на-Дону одновременно вышли навстречу друг другу два поезда. Поезд из Москвы шёл со скоростью 65 км/ч, а поезд из Ростова-на-Дону — со скоростью на 7 км/ч меньшей. На каком расстоянии друг от друга будут поезда через 6 ч после начала движения, если расстояние между Москвой и Ростовом-на-Дону 1230 км?

670. С двух станций, расстояние между которыми 720 км, вышли одновременно навстречу друг другу два поезда. Скорость первого поезда 75 км/ч, а скорость второго на 10 км/ч больше. На каком расстоянии друг от друга будут поезда через 4 ч?

671. Составьте программу вычислений для нахождения значения выражения

67 392 : (3504 - 3408) + 19 232 : 601

и изобразите её схемой. Найдите значение выражения.

672. Выполните действия:

14 • (3600 • 18 - 239 200 : 46).

Рассказы об истории возникновения и развития математики

Выдающийся российский математик академик Андрей Николаевич Колмогоров решил много сложнейших задач, совершил не одно открытие в различных разделах современной математики. Радость своих первых математических «открытий» он познал рано. Андрей Николаевич рассказывал, что ещё до поступления в гимназию в возрасте пяти-шести лет он любил придумывать задачи, подмечал интересные свойства чисел. Эти «открытия» публиковались в домашнем журнале. Вот одно из «открытий» шестилетнего Колмогорова. Он заметил, что

1² = 1, 2² = 1 + 3, З² = 1 +3 + 5, 4² = 1 + 3 + 5 + 7.

673. Попробуйте рассказать, что это за свойство. Проверьте, выполняется ли оно для квадратов нескольких следующих чисел.

Рассказы об истории возникновения и развития математики

Первые единицы длины как в России, так и в других странах были связаны с размерами частей тела человека. Таковы сажень, локоть, пядь, в Англии и США до сих пор используется «ступня» — фут (31 см), «большой палец» — дюйм (25 мм) и даже ярд (91 см) — единица длины, появившаяся почти 900 лет назад. Она была равна расстоянию от кончика носа короля Генриха I до конца пальцев его вытянутой руки.

Для измерения больших расстояний на Руси использовали единицу по́прище, заменённую позже версто́й (в разных местностях версту считали по-разному — от 500 до 750 сажен).

От восточных купцов пошла единица аршин (тоже означает «локоть») — существовали турецкий аршин, персидский аршин и др. Поэтому и возникла поговорка «мерить на свой аршин».

Множество единиц существовало и для измерения массы, наиболее древняя русская мера — гривна, или гривенка (около 410 г). Позднее появились золотники, фунты, пуды.

В связи с развитием торговли назрела необходимость установить чёткие определения единиц и соотношения между ними. При Петре I меры были приведены в определённую систему:

1 верста = 500 саженям (1 км 67 м);
1 сажень = 3 аршинам (213 см);
1 аршин = 16 вершкам = 28 дюймам (71 см);
1 фут = 12 дюймам (30 см 5 мм);
1 пуд = 40 фунтам (гривенкам) (16 кг 400 г);
1 фунт = 96 золотникам (410 г).