Информатика и ИКТ
9 класс

   

§ 1.1. Системы счисления

Ключевые слова:

  • система счисления
  • цифра
  • алфавит
  • позиционная система счисления
  • основание
  • развёрнутая форма записи числа
  • свёрнутая форма записи числа
  • двоичная система счисления
  • восьмеричная система счисления
  • шестнадцатеричная система счисления

1.1.1. Общие сведения о системах счисления

Система счисления — это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел. Знаки, при помощи которых записываются числа (рис. 1.1), называются цифрами, а их совокупность — алфавитом системы счисления.

Рис. 1.1.
Знаки, используемые для записи чисел в различных системах счисления

В любой системе счисления цифры служат для обозначения чисел, называемых узловыми; остальные числа (алгоритмические) получаются в результате каких-либо операций из узловых чисел.

Пример 1. У вавилонян узловыми являлись числа 1, 10, 60; в римской системе счисления узловыми являются числа 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000, обозначаемые соответственно I, V, X, L, С, D, М.

Системы счисления различаются выбором узловых чисел и способами образования алгоритмических чисел. Можно выделить следующие виды систем счисления:

  1. унарные системы;
  2. непозиционные системы;
  3. позиционные системы.

Простейшая и самая древняя система — так называемая унарная система счисления. В ней для записи любых чисел используется всего один символ — палочка, узелок, зарубка, камушек. Длина записи числа при таком кодировании прямо связана с его величиной, что роднит этот способ с геометрическим представлением чисел в виде отрезков. Именно унарная система лежит в фундаменте арифметики, и именно она до сих пор вводит первоклассников в мир счёта. Унарные системы ещё называют системами бирок.

Система счисления называется непозиционной, если количественный эквивалент (количественное значение) цифры в числе не зависит от её положения в записи числа.

В непозиционных системах счисления числа образуются путём сложения узловых чисел.

Пример 2. В древнеегипетской системе счисления числа 1, 2, 3, 4, 10, 13, 40 обозначались соответственно следующим образом:

Те же числа в римской системе счисления обозначаются так: I, II, III, IV, X, XIII, XL. Здесь алгоритмические числа получаются путём сложения и вычитания узловых чисел с учётом следующего правила: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него.

Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры в числе зависит от её положения в записи числа. Основание позиционной системы счисления равно количеству цифр, составляющих её алфавит.

Десятичная система записи чисел, которой мы привыкли пользоваться в повседневной жизни, с которой мы знакомы с детства, в которой производим все наши вычисления, — пример позиционной системы счисления. В ней алгоритмические числа образуются следующим образом: значения цифр умножаются на «веса» соответствующих разрядов и все полученные значения складываются. Это отчётливо прослеживается в числительных русского языка, например: «три-ста пять-десят семь».

Основанием позиционной системы счисления может служить любое натуральное число q > 1.

Алфавит десятичной системы составляют цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Алфавитом произвольной позиционной системы счисления с основанием q служат числа 0, 1, ..., q-1, каждое из которых может быть записано с помощью одного уникального символа; младшей цифрой всегда является О.

Основные достоинства любой позиционной системы счисления — простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов, необходимых для записи любых чисел.

В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде:

Здесь:

    A — число;

    q — основание системы счисления;

    a1 — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления;

    n — количество целых разрядов числа;

    m — количество дробных разрядов числа;

    q1 — «вес» i-гo разряда.

Запись числа по формуле (1) называется развёрнутой формой записи. Свёрнутой формой записи числа называется его представление в виде ±an-1an-2...a1a0,a-1...a-m1


    1 Далее будут рассматриваться только положительные целые числа.

Пример 3. Рассмотрим десятичное число 14351,1. Его свёрнутая форма записи настолько привычна, что мы не замечаем, как в уме переходим к развёрнутой записи, умножая цифры числа на «веса» разрядов и складывая полученные произведения:

1 • 104 + 4 • 103 + 3 • 102 + 5 • 101 + 1 • 100 + 1 • 10-1.

1.1.2. Двоичная система счисления

Двоичной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 2. Для записи чисел в двоичной системе счисления используются только две цифры: 0 и 1.

На основании формулы (1) для целых двоичных чисел можно записать:

Например:

100112 = 1 • 24 + 0 • 23 + 0 • 22 + 1 • 21 + 1 • 20 = 24 + 21 + 20 = 1910.

Такая форма записи «подсказывает» правило перевода натуральных двоичных чисел в десятичную систему счисления: необходимо вычислить сумму степеней двойки, соответствующих единицам в свёрнутой форме записи двоичного числа.

Получим из формулы (1') правило перевода целых десятичных чисел в двоичную систему счисления.

Разделим

аn-1 • 2n-1 + аn-2 • 2n-2 + ... + а0 • 20 на 2.

Частное будет равно

аn-1 • 2n-2 + ... + а1,

а остаток будет равен а0.

Полученное частное опять разделим на 2, остаток от деления будет равен а1.

Если продолжить этот процесс деления, то на n-м шаге получим набор цифр:

а0, a1, a2, ..., an-1

которые входят в двоичное представление исходного числа и совпадают с остатками при его последовательном делении на 2. При записи исходного числа в двоичной системе счисления следует учитывать, что остатки от деления на 2 нами получены в порядке, обратном порядку расположения соответствующих цифр в двоичном представлении исходного числа.

Пример 4. Переведём десятичное число 11 в двоичную систему счисления. Рассмотренную выше последовательность действий (алгоритм перевода) можно изобразить так:

Выписывая остатки от деления в направлении, указанном стрелкой, получим: 1110 = 10112.

Пример 5. Если десятичное число достаточно большое, то более удобен следующий способ записи рассмотренного выше алгоритма:

36310 = 1011010112

1.1.3. Восьмеричная система счисления

Восьмеричной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 8. Для записи чисел в восьмеричной системе счисления используются цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

На основании формулы (1) для целого восьмеричного числа можно записать:

Например: 10638 = 1 • 83 + 0 • 82 + 6 • 81 + 3 • 80 = 56310

Таким образом, для перевода целого восьмеричного числа в десятичную систему счисления следует перейти к его развёрнутой записи и вычислить значение получившегося выражения.

Для перевода целого десятичного числа в восьмеричную систему счисления следует последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 8 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. Исходное число в новой системе счисления составляется последовательной записью полученных остатков, начиная с последнего.

Пример 6. Переведём десятичное число 103 в восьмеричную систему счисления.

10310 = 1478

1.1.4. Шестнадцатеричная система счисления

Основание: q = 16.

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F.

Здесь только десять цифр из шестнадцати имеют общепринятое обозначение 0,..., 9. Для записи цифр с десятичными количественными эквивалентами 10, 11, 12, 13, 14, 15 обычно используются первые пять букв латинского алфавита.

Таким образом, запись 3AF16 означает:

3AF16 = 3 • 162 + 10 • 161 + 15 • 160 = 768 + 160 + 15 = 94310.

Пример 7. Переведём десятичное число 154 в шестнадцатеричную систему счисления.

15410 = 9А16

1.1.5. Правило перевода целых десятичных чисел в систему счисления с основанием q

Для перевода целого десятичного числа в систему счисления с основанием q следует:

  1. последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное, равное нулю;
  2. полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;
  3. составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего полученного остатка.

Составим таблицу соответствия десятичных, двоичных, восьмеричных и шестнадцатеричных чисел от 0 до 20.

В Единой коллекции цифровых образовательных ресурсов (http://school-collection.edu.ru/) размещена интерактивная анимация «Преобразование десятичного числа в другую систему счисления». С её помощью можно понаблюдать за переводом произвольного целого числа от 0 до 512 в позиционную систему счисления, основание которой не превышает 16.

В размещённой там же виртуальной лаборатории «Цифровые весы» вы сможете освоить ещё один способ перевода целых десятичных чисел в другие системы счисления — метод разностей.

1.1.6. Двоичная арифметика

Арифметика двоичной системы счисления основывается на использовании следующих таблиц сложения и умножения:

Пример 8. Таблица двоичного сложения предельно проста. Так как 1 + 1 = 10, то 0 остаётся в данном разряде, а 1 переносится в следующий разряд.

Пример 9. Операция умножения выполняется по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления, с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.

Таким образом, в двоичной системе умножение сводится к сдвигам множимого и сложениям.

1.1.7. «Компьютерные» системы счисления

В компьютерной технике используется двоичная система счисления, обеспечивающая ряд преимуществ перед другими системами:

  • двоичные числа представляются в компьютере с помощью достаточно простых технических элементов с двумя устойчивыми состояниями;
  • представление информации посредством только двух состояний надёжно и помехоустойчиво;
  • двоичная арифметика наиболее проста;
  • существует математический аппарат, обеспечивающий логические преобразования двоичных данных.

Обмен информацией между компьютерными устройствами осуществляется путём передачи двоичных кодов. Пользоваться такими кодами из-за их большой длины и зрительной однородности человеку неудобно. Поэтому специалисты (программисты, инженеры) на некоторых этапах разработки, создания, настройки вычислительных систем заменяют двоичные коды на эквивалентные им величины в восьмеричной или шестнадцатеричной системах счисления. В результате длина исходного слова сокращается в три, четыре раза соответственно. Это делает информацию более удобной для рассмотрения и анализа.

С помощью ресурса «Интерактивный задачник, раздел “Системы счисления”» (http://school-collection.edu.ru/) вы сможете проверить, насколько прочно вы усвоили изученный в этом параграфе материал.

Самое главное

Система счисления — это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел. Знаки, при помощи которых записываются числа, называются цифрами, а их совокупность — алфавитом системы счисления.

Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры в числе зависит от её положения в записи числа. Основание позиционной системы счисления равно количеству цифр, составляющих её алфавит.

Основанием позиционной системы счисления может служить любое натуральное число q > 1.

В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде:

Здесь:

    А — число;

    q — основание системы счисления;

    аi — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления;

    n — количество целых разрядов числа;

    m — количество дробных разрядов числа;

    qi — «вес» i-гo разряда.

Вопросы и задания

  1. Чем различаются унарные, позиционные и непозиционные системы счисления?
  2. Цифры каких систем счисления приведены на рис. 1.1?
  3. Объясните, почему позиционные системы счисления с основаниями 5, 10, 12 и 20 называют системами счисления анатомического происхождения.
  4. Как от свёрнутой формы записи десятичного числа перейти к его развёрнутой форме?
  5. Запишите в развёрнутом виде числа:

      143,51110;

      1435118;

      14351116;

      1435,115

  6. Запишите десятичные эквиваленты следующих чисел:

      1728;

      2EA16;

      1010102;

      10,12;

      2436.

  7. Укажите, какое из чисел 1100112, 1114, 358 и 1В16 является:

      наибольшим;

      наименьшим.

  8. Какое минимальное основание имеет система счисления, если в ней записаны числа 123, 222, 111, 241? Определите десятичный эквивалент данных чисел в найденной системе счисления.
  9. Верны ли следующие равенства?

      334 = 217;

      338 = 214.

  10. Найдите основание х системы счисления, если:

      14х = 910;

      2002х = 13010.

  11. Переведите целые числа из десятичной системы счисления в двоичную:

      89;

      600;

      2010.

  12. Переведите целые числа из десятичной системы счисления в восьмеричную:

      513;

      600;

      2010.

  13. Переведите целые числа из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную:

      513;

      600;

      2010.

  14. Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же число должно быть записано в системах счисления с основаниями 2, 8, 10 и 16.

  15. Выполните операцию сложения над двоичными числами:

      101010 + 1101;

      1010 + 1010;

      10101 + 111.

  16. Выполните операцию умножения над двоичными числами:

      а) 1010 • 11;

      б) 111 • 101;

      в) 1010 • 111.

  17. Расставьте знаки арифметических операций так, чтобы были верны следующие равенства в двоичной системе:

      а) 1100 ? 11 ? 100 = 100000;

      б) 1100? 10 7 10=100;

      в) 1100? 11? 100 = 0.

  18. Вычислите выражения:

      а) (11111012 + AF16): 368;

      б) 1258 + 1012 • 2А1б - 1418.

    Ответ дайте в десятичной системе счисления.

  19. Какими преимуществами и недостатками обладает двоичная система счисления по сравнению с десятичной?
  20. Разработайте таблицы сложения и умножения для восьмеричной системы счисления.
  21. Постройте граф, отражающий разновидности систем счисления.
  22. Подготовьте небольшое сообщение об одной из систем счисления (когда и где применялась, какие символы использовались и т. д.).

 

Top.Mail.Ru
Top.Mail.Ru