Учебник для 7-9 классов

Геометрия

Вопросы для повторения к главе XIII

1 Объясните, что такое отображение плоскости на себя.

2 Какое отображение плоскости называется: а) осевой симметрией; б) центральной симметрией?

3 Докажите, что осевая симметрия является отображением плоскости на себя.

4 Что такое движение (или перемещение) плоскости?

5 Докажите, что осевая симметрия является движением.

6 Является ли центральная симметрия движением?

7 Докажите, что при движении отрезок отображается на отрезок.

8 Докажите, что при движении треугольник отображается на равный ему треугольник.

9 Объясните, что такое наложение.

10 Докажите, что при наложении различные точки отображаются в различные точки.

11 Докажите, что наложение является движением плоскости.

12 Докажите, что любое движение является наложением.

13 Верно ли утверждение, что при движении любая фигура отображается на равную ей фигуру?

14 Какое отображение плоскости называется параллельным переносом на данный вектор?

15 Докажите, что параллельный перенос является движением.

16 Какое отображение плоскости называется поворотом?

17 Докажите, что поворот является движением.

Дополнительные задачи

1172. При данном движении каждая из двух точек А и В отображается на себя. Докажите, что любая точка прямой АВ отображается на себя.

1173. При данном движении каждая из вершин треугольника АВС отображается на себя. Докажите, что любая точка плоскости отображается на себя.

1174. Докажите, что два прямоугольника равны, если: а) смежные стороны одного прямоугольника соответственно равны смежным сторонам другого; б) сторона и диагональ одного прямоугольника соответственно равны стороне и диагонали другого.

1175. Даны прямая а и точки М и N, лежащие по одну сторону от неё. Докажите, что на прямой а существует единственная точка X, такая, что сумма расстояний MX + XN имеет наименьшее значение.

1176. Даны острый угол АВС и точка D внутри него. Используя осевую симметрию, найдите на сторонах данного угла такие точки Е и F, чтобы треугольник DEF имел наименьший периметр.

1177. Медианы АА₁, ВВ₁ и СС₁ треугольника АВС пересекаются в точке М. Точки А₂, В₂ и С₂ являются соответственно серединами отрезков AM, ВМ и СМ. Докажите, что ΔА₁В₁С₁ = ΔА₂В₂С₂.

Решение

Так как М — точка пересечения медиан треугольника АВС, то AM = 2МА₁. Отсюда, учитывая, что точка А₂ — середина отрезка AM, получаем МА₁ = МА₂, т. е. точки А₁ и А₂ симметричны относительно точки М. Аналогично точки В₁ и В₂, а также точки С₁ и С₂ симметричны относительно точки М. Рассмотрим центральную симметрию относительно точки М. При этой симметрии точки А₁, В₁, С₁ отображаются в точки А₂, В₂, С₂, поэтому треугольник А₁В₁С₁ отображается на треугольник А₂В₂С₂, и, следовательно, ΔА₂В₂С₂ = ΔА₁В₁С₁.

1178. На сторонах АВ и CD параллелограмма ABCD построены квадраты так, как показано на рисунке 332. Используя параллельный перенос, докажите, что отрезок, соединяющий центры этих квадратов, равен и параллелен стороне AD.

Рис. 332

1179.* На стороне АВ прямоугольника ABCD построен треугольник ABS так, как показано на рисунке 333: CC₁ ⊥ AS, DD₁ ⊥ BS. Используя параллельный перенос, докажите, что прямые SK и АВ взаимно перпендикулярны.

Рис. 333

1180. В окружность с центром О вписаны два равносторонних треугольника АВС и А₁В₁С₁, причём вершины обозначены так, что направление обхода по дуге АВС от точки А к точке С совпадает с направлением обхода по дуге А₁В₁С₁ от точки А₁ к точке С₁. Используя поворот вокруг точки О, докажите, что прямые АА₁, ВВ₁ и СС₁ либо проходят через точку О, либо, пересекаясь, образуют равносторонний треугольник.

1181. Даны две пересекающиеся прямые и точка О, не лежащая ни на одной из них. Используя центральную симметрию, постройте прямую, проходящую через точку О, так, чтобы отрезок этой прямой, отсекаемый данными прямыми, делился точкой О пополам.

1182. Используя параллельный перенос, постройте трапецию по её основаниям и диагоналям.

1183. Даны параллельные прямые b и с и точка А, не лежащая ни на одной из них. Постройте равносторонний треугольник АВС так, чтобы вершины В и С лежали соответственно на прямых b и с. Сколько решений имеет задача?

Решение

Допустим, что задача решена и искомый треугольник АВС построен (рис. 334, а). При повороте плоскости вокруг точки А на 60° по часовой стрелке вершина В отображается в вершину С, поэтому прямая b отображается на прямую b₁, проходящую через точку С. Прямую бх легко построить, не пользуясь точками В и С (см. задачу 1171). Построив прямую b₁, находим точку С, в которой прямая b₁ пересекается с прямой с. Затем, построив окружность с центром А радиуса АС, находим точку В. На рисунке 334, а выполнено построение.

Задача имеет два решения, одно из которых получается при повороте плоскости вокруг точки А на 60° по часовой стрелке (ΔАВС на рисунке 334, а), а другое — при повороте плоскости на угол 60° против часовой стрелки (ΔАВ'С' на рисунке 334, б).

Рис. 334

Ответы задачам

1172. Указание. Пусть М — произвольная точка прямой АВ, а М' — её образ. Используя равенства AM = AM', ВМ = ВМ', доказать, что точки М и М' совпадают.

1173. Указание. Воспользоваться задачей 1155.

1174. а) Указание. Воспользоваться задачей 1157.

1175. Указание. Использовать симметрию относительно прямой а.

1176. Указание. Использовать точки D₁, и D₂, симметричные точке D относительно прямых АВ и ВС.

1178. Указание. Использовать параллельный перенос на вектор .

1179. Указание. Учесть, что высоты треугольника, на который отображается треугольник ABS при параллельном переносе на вектор , пересекаются в одной точке.

1180. Указание. Использовать поворот вокруг точки О на угол в 120°.

1181. Указание. Сначала построить прямую, симметричную одной из данных прямых относительно точки О.

1182. Указание. Пусть ABCD — искомая трапеция с основаниями AD и ВС. Сначала построить треугольник ACD₁, где D₁), — точка, в которую отображается точка D при параллельном переносе на вектор .