|
|
|
Учебник для 7-9 классов Геометрия
Вопросы для повторения к главе XI1. Начертите оси координат и постройте единичную полуокружность. 2. Объясните, что такое синус и косинус угла α из промежутка 0° ≤ a ≤ 180°. 3. Что называется тангенсом угла α? Для какого значения α тангенс не определён и почему? 4. Что называется котангенсом угла α? Для каких значений a котангенс не определён и почему? 5. Докажите основное тригонометрическое тождество. 6. Напишите формулы приведения. 7. Выведите формулы, выражающие координаты точки А с неотрицательной ординатой через длину отрезка ОА и угол между лучом ОА и положительной полуосью Ох. 8. Сформулируйте и докажите теорему о площади треугольника (вычисление площади треугольника по двум сторонам и углу между ними). 9. Сформулируйте и докажите теорему синусов. 10. Сформулируйте и докажите теорему косинусов. 11. Что означают слова «решение треугольника»? Сформулируйте три основные задачи на решение треугольника и объясните, как они решаются. 12. Объясните, как определить высоту предмета, основание которого недоступно. 13. Объясните, как измерить расстояние до недоступной точки. 14. Объясните, что означают слова «угол между векторами 15. Какие два вектора называются перпендикулярными? 16. Что такое скалярное произведение двух векторов? 17. В каком случае скалярное произведение ненулевых векторов: а) равно 0; б) больше 0; в) меньше 0? 18. Выведите формулу, выражающую скалярное произведение векторов через их координаты. 19. Запишите условие перпендикулярности двух ненулевых векторов с координатами {x1; у1} и {х2; у2}. 20. Выведите формулу, выражающую косинус угла между ненулевыми векторами через их координаты. 21. Сформулируйте и докажите утверждения о свойствах скалярного произведения векторов. 22. Приведите пример использования скалярного произведения векторов при решении геометрических задач. Дополнительные задачи1057. В равнобедренном треугольнике ABC АВ = AC = b, ∠A = 30°. Найдите высоты BE и AD, а также отрезки АЕ, ЕС, ВС. 1058. Найдите площадь треугольника АВС, если: а) ВС = 4,125 м, ∠B = 44°, ∠C=72°;
1059. Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними. 1060. Используя теорему синусов, решите треугольник АВС, если: а) АВ = 8 см, ∠A = 30°, ∠B = 45°;
1061. Используя теорему косинусов, решите треугольник АВС, если: а) АВ = 5 см, АС = 7,5 см, ∠A = 135°;
1062. В треугольнике DEF DE = 4,5 дм, .ЕВ = 9,9 дм, DF = 70 см. Найдите углы треугольника. 1063. Найдите биссектрису AD треугольника АВС, если ∠A = a, АВ = с, АС = b. 1064. Чтобы определить расстояние между точками А и В, которое нельзя измерить, выбирают третью точку С, из которой видны точки А и В. Измерив угол АСВ и расстояния АС и СВ, находят расстояние АВ. Найдите АВ, если AC = b, СВ = а, ∠ACB = a. 1065. Докажите, что треугольник с вершинами А (3; 0), В (1; 5) и С (2; 1) тупоугольный. Найдите косинус тупого угла. 1066. Найдите длину вектора 1067. Найдите диагонали параллелограмма, построенного на векторах 1068. При каком значении х векторы 1069. В прямоугольном равнобедренном треугольнике проведены медианы из вершин острых углов. Найдите острый угол между этими медианами. 1070. В трапеции ABCD с основаниями АО= 16 см и ВС = 8 см боковая сторона равна 4√7 см, a ∠ADC = 60°. Через вершину С проведена прямая l, делящая трапецию на два многоугольника, площади которых равны. Найдите площадь трапеции и длину отрезка прямой l, заключённого внутри трапеции. 1071. В треугольнике АВС, площадь которого равна 3√3, угол А острый, АВ = 4√3, АС = 3. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника. 1072. Дан ромб MNPQ. Отрезок MF — биссектриса треугольника MPQ, ∠NMQ = 4α, FQ = a. Найдите площадь данного ромба. Применение скалярного произведения векторов к решению задач1073. Четырёхугольник ABCD задан координатами своих вершин: А (-1; 2), В (1; -2), С (2; 0), D (1; 6). Докажите, что ABCD — трапеция, и найдите её площадь. Решение Векторы 1074. Точка М лежит на стороне ВС треугольника АВС и ВМ = kMC. Докажите, что (1 + k)2 AM2 = k2b2 + 2bck cos A + c2, где b = AC, с = AB. Решение По условию задачи М лежит на отрезке ВС и ВМ = kMC, поэтому
По правилу треугольника сложения векторов
Таким образом,
Отсюда получаем:
Так как
то полученная формула совпадает с искомой формулой. 1075. В треугольнике АВС отрезок AD — биссектриса, AM — медиана, b = АС, с = АВ. Докажите, что:
1076. Диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны. Докажите, что этот параллелограмм является ромбом. 1077. Докажите, что коэффициент подобия двух подобных треугольников равен отношению радиусов окружностей: а) описанных около треугольников; б) вписанных в эти треугольники. Ответы к дополнительным задачам1057. 1058. а) ≈ 6,254 м2; б) ≈ 6 449 073 м2. 1060. а) ∠C= 105°, АС ≈ 6 см, ВС ≈ 4 см; б) ∠A ≈ 75°, ВС ≈ 6 см, АС ≈ 4 см; в) АС ≈ 42°55', ∠B ≈ 88°35', АС ≈ 4 см; г) ∠A ≈ 26°22', ∠C ≈ 90°50', АВ ≈ 11,7 см. 1061. а) ВС ≈ 12 см, ∠C ≈ 17°45', ∠B ≈ 27°15'; б) АС = √5 дм, ∠A ≈ 71°34', ∠C ≈ 63°26'; в) АВ ≈ 6,4 дм, ∠A ≈ 2°, ∠B ≈ 28°. 1062. ∠D ≈ 117°10', ∠E ≈ 38°59', ∠F ≈ 23°51'. 1063. 1064. 1065. 1066. 5. 1067. 15 и ≈ 24,4. 1068. x = 40. 1069. 36°51'. 1070. 72√3 см2; 12см. 1071. 421. Указание. Воспользоваться задачей 1033. 1072. 1075. Указание, а) Воспользоваться задачами 535 и 1074; б) воспользоваться задачей 1074. 1077. Указание, а) Воспользоваться задачей 1033; б) пусть А1В1С1 и А2В2С2 — данные подобные треугольники, а О1 и O2 — центры вписанных окружностей. Сначала доказать, что ΔА1О1В1 ∼ ΔА2О2В2.
|
и 
равен α». В каком случае угол между векторами считается равным 0°?
∠C = 150°.
-4
, где 
если 
и 
.
перпендикулярны, если |
имеют координаты: 
Эти векторы коллинеарны, так как их координаты пропорциональны. По координатам векторов 
где α — угол между АС и ВО. По формуле (5) § 3 найдём сначала 
. Так как 
то АС = у√13, BD = 8 и 
Отсюда следует, что 
Таким образом, 
или 
Следовательно,
, или
.
Указание. Воспользоваться формулой площади треугольника (п. 100).
|
|