Учебник для 7-9 классов

Геометрия

§ 4. Измерение отрезков

Длина отрезка

На рисунке 27 в отрезке АВ сантиметр укладывается ровно два раза. Это означает, что длина отрезка АВ равна 2 см. Обычно говорят кратко: «Отрезок АВ равен 2 см» — и пишут: АВ = 2 см.

Рис. 27

Может оказаться так, что отрезок, принятый за единицу измерения, не укладывается целое число раз в измеряемом отрезке — получается остаток. Тогда единицу измерения делят на равные части, обычно на 10 равных частей, и определяют, сколько раз одна такая часть укладывается в остатке. Например, на рисунке 27 в отрезке АС сантиметр укладывается 3 раза, и в остатке ровно 4 раза укладывается одна десятая часть сантиметра (миллиметр), поэтому длина отрезка АС равна 3,4 см.

Возможно, однако, что и взятая часть единицы измерения (в данном случае миллиметр) не укладывается в остатке целое число раз, и получается новый остаток. Так будет, например, с отрезком AD на рисунке 27, в котором сантиметр укладывается три раза с остатком, а в остатке миллиметр укладывается восемь раз вновь с остатком. В таком случае говорят, что длина отрезка AD приближённо равна 3,8 см.

Для более точного измерения этого отрезка указанную часть единицы измерения (миллиметр) можно разделить на 10 равных частей и продолжить процесс измерения. Мысленно этот процесс можно продолжать и дальше, измеряя длину отрезка со всё большей точностью. На практике, однако, пользуются приближёнными значениями длин отрезков.

За единицу измерения можно принимать не только сантиметр, но и любой другой отрезок. Выбрав единицу измерения, можно измерить любой отрезок, т. е. выразить его длину некоторым положительным числом. Это число показывает, сколько раз единица измерения и её части укладываются в измеряемом отрезке.

Если два отрезка равны, то единица измерения и её части укладываются в этих отрезках одинаковое число раз, т. е. равные отрезки имеют равные длины. Если же один отрезок меньше другого, то единица измерения (или её часть) укладывается в этом отрезке меньшее число раз, чем в другом, т. е. меньший отрезок имеет меньшую длину.

На рисунке 28 изображён отрезок АВ. Точка С делит его на два отрезка: АС и СВ. Мы видим, что АС = 3см, СВ = 2,7 см, АВ = 5,7 см.

Рис. 28

Таким образом, АС + СВ = АВ. Ясно, что и во всех других случаях, когда точка делит отрезок на два отрезка, длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков.

Если длина отрезка CD в k раз больше длины отрезка АВ, то пишут CD = kAB.

Длина отрезка называется также расстоянием между концами этого отрезка.

Единицы измерения. Измерительные инструменты

Для измерения отрезков и нахождения расстояний на практике используют различные единицы измерения. Стандартной международной единицей измерения отрезков выбран метр — отрезок, приближённо равный 1/40 000 000 части земного меридиана. Эталон метра в виде специального металлического бруска хранится в Международном бюро мер и весов во Франции. Копии эталона хранятся в других странах, в том числе и в России. Один метр содержит сто сантиметров. В одном сантиметре десять миллиметров.

При измерении небольших расстояний, например расстояния между точками, изображёнными на листе бумаги, за единицу измерения принимают сантиметр или миллиметр. Расстояние между отдельными предметами в комнате измеряют в метрах, расстояние между населёнными пунктами — в километрах. Используются и другие единицы измерения, например дециметр, морская миля (1 миля равна 1,852 км). В астрономии для измерения очень больших расстояний за единицу измерения принимают световой год, т. е. путь, который свет проходит в течение одного года.

Мы назвали единицы измерения расстояний, которые используются на практике в наше время. В старину в разных странах существовали свои единицы измерения. Так, на Руси использовались аршин (0,7112 м), сажень (2,1336 м) и др.

Рис. 29

На практике для измерения расстояний пользуются различными инструментами. Например, в техническом черчении употребляется масштабная миллиметровая линейка. Для измерения диаметра трубки используют штангенциркуль (рис. 29). С его помощью можно измерять расстояния с точностью до 0,1 мм. Для измерения расстояний на местности пользуются рулеткой, которая представляет собой ленту с нанесёнными на ней делениями (рис. 30).

Рис. 30

Практические задания

24. Измерьте ширину и длину учебника геометрии и выразите их в сантиметрах и в миллиметрах.

25. Измерив толщи: у учебника геометрии без обложки, найдите толщину одного листа.

26. Найдите длины всех отрезков, изображённых на рисунке 31, если за единицу измерения принят отрезок: a) KL; б) АВ.

Рис. 31

27. Начертите отрезок АВ и луч h. Пользуясь масштабной линейкой, отложите на луче h от его начала отрезки, длины которых равны

28. Начертите прямую и отметьте на ней точки А и В. С помощью масштабной линейки отметьте точки С и D так, чтобы точка В была серединой отрезка АС, а точка D — серединой отрезка ВС.

29. Начертите прямую АВ. С помощью масштабной линейки отметьте на этой прямой точку С, такую, что АС = 2 см. Сколько таких точек можно отметить на прямой АВ?

Ответ

29. Две точки.

Задачи к § 4

30. Точка В делит отрезок АС на два отрезка. Найдите длину отрезка АС, если АВ = 7,8 см, ВС = 25 мм.

31. Точка В делит отрезок АС на два отрезка. Найдите длину отрезка ВС, если:

а) АВ = 3,7 см, АС = 7,2 см;
б) АВ = 4 мм, АС = 4 см.

32. Точки А, Б и С лежат на одной прямой. Известно, что АВ = 12 см, ВС = 13,5 см. Какой может быть длина отрезка АС?

33. Точки В, D и М лежат на одной прямой. Известно, что BD= 7 см, MD= 16 см. Каким может быть расстояние ВМ?

34. Точка С — середина отрезка АВ, равного 64 см. На луче СА отмечена точка D так, что СD = 15см. Найдите длины отрезков BD и DA.

35. Расстояние между Москвой и С.-Петербургом равно 650 км. Город Тверь находится между Москвой и С.-Петербургом в 170 км от Москвы. Найдите расстояние между Тверью и С.-Петербургом, считая, что все три города расположены на одной прямой.

36. Лежат ли точки А, Б и С на одной прямой, если АС = 5 см, АВ = 3 см, ВС = 4 см?

Решение

Если точки А, В и С лежат на одной прямой, то больший из отрезков АВ, ВС и АС равен сумме двух других. По условию больший из данных отрезков (отрезок АС) равен 5 см, а сумма двух других (АВ + ВС) равна 7 см. Поэтому точки А, В и С не лежат на одной прямой.

37. Точка С — середина отрезка АВ, точка О — середина отрезка АС. Найдите:

а) АС, СВ, АО и ОВ, если АВ = 2 см;
б) АВ, АС, АО и ОВ, если СВ = 3,2 м.

38. На прямой отмечены точки О, А и В так, что ОА = 12 см, ОВ = 9 см. Найдите расстояние между серединами отрезков О А и ОВ, если точка О:

а) лежит на отрезке АВ;
б) не лежит на отрезке АВ.

39. Отрезок, длина которого равна а, разделён произвольной точкой на два отрезка. Найдите расстояние между серединами этих отрезков.

40. Отрезок, равный 28 см, разделён на три неравных отрезка. Расстояние между серединами крайних отрезков 16 см. Найдите длину среднего отрезка.

Ответы к задачам

30. 10,3 см.

31. а) 3,5 см; б) 36 мм.

32. 25,5 см или 1,5 см.

33. 9 см или 23 см.

34. BD = 47 см, DA = 17 см.

35. 480 км.

37. а) АС = 1см, СВ = 1см, АО = 0,5см, ОВ=1,5см; б) АВ = 6,4м, АС = 3,2м, АО = 1,6 м, ОВ = 4,8м.

38. а) 10,5 см; б) 1,5 см.

39. а/2

40. 4 см.