Учебник для 7-9 классов

Геометрия

§ 1. Координаты вектора

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Докажем сначала лемму¹ о коллинеарных векторах.

Лемма

Если векторы и коллинеарны и , то существует такое число к, что .

Доказательство

Возможны два случая: Рассмотрим эти случаи в отдельности.

1) Возьмём число Так как k ≥ 0, то векторы сонаправлены (рис. 273, а). Кроме того, их длины равны: Поэтому .

2) Возьмём число Так как k < 0, то векторы снова сонаправлены (рис. 273, б). Их длины также равны: Поэтому , Лемма доказана.

Рис. 273

Пусть и — два данных вектора. Если вектор представлен в виде где х и у — некоторые числа, то говорят, что вектор разложен по векторам и . Числа х и у называются коэффициентами разложения. Докажем теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.

Теорема

На плоскости любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Доказательство

Пусть и — данные неколлинеарные векторы. Докажем сначала, что любой вектор можно разложить по векторам и Возможны два случая.

1) Вектор коллинеарен одному из векторов и , например вектору . В этом случае по лемме о коллинеарных векторах вектор можно представить в виде , где у — некоторое число, и, следовательно, т. е. вектор разложен по векторам и .

2) Вектор не коллинеарен ни вектору , ни вектору . Отметим какую-нибудь точку О и отложим от неё векторы (рис. 274). Через точку Р проведём прямую, параллельную прямой ОВ, и обозначим через A₁ точку пересечения этой прямой с прямой О А. По правилу треугольника Но векторы коллинеарны соответственно векторам и , поэтому существуют такие числа х и у, что . Следовательно, , т. е. вектор разложен по векторам и .

Рис. 274

Докажем теперь, что коэффициенты х и у разложения определяются единственным образом. Допустим, что наряду с разложением имеет место другое разложение Вычитая второе равенство из первого и используя правила действий над векторами, получаем Это равенство может выполняться только в том случае, когда коэффициенты х - х₁ и у - у₁ равны нулю. В самом деле, если предположить, например, что х - x₁ ≠ 0, то из полученного равенства найдём а значит, векторы и коллинеарны.

Но это противоречит условию теоремы. Следовательно, х - х₁ = 0 и у - у₁ = 0, откуда х = х₁ и у = у₁. Это и означает, что коэффициенты разложения вектора определяются единственным образом. Теорема доказана.

Координаты вектора

Понятие прямоугольной системы координат (или, как иногда говорят, декартовой системы координат) нам известно из курса алгебры.

Напомним, что для задания прямоугольной системы координат нужно провести две взаимно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрать направление (оно обозначается стрелкой) и выбрать единицу измерения отрезков. При выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражается положительным числом.

В дальнейшем под длиной отрезка мы будем понимать это число.

Отложим от начала координат О единичные векторы (т. е. векторы, длины которых равны единице) и так, чтобы направление вектора совпало с направлением оси Ох, а направление вектора — с направлением оси Оу (рис. 275). Векторы и назовём координатными векторами.

Рис. 275

Координатные векторы не коллинеарны, поэтому любой вектор можно разложить по координатным векторам, т. е. представить в виде , причём коэффициенты разложения (числа х и у) определяются единственным образом. Коэффициенты разложения вектора по координатным векторам называются координатами вектора в данной системе координат. Координаты вектора будем записывать в фигурных скобках после обозначения вектора: {х; у}. На рисунке 275 {2; 1} и {3; -2}.

Так как нулевой вектор можно представить в виде то его координаты равны нулю: Если векторы и равны, то х₁ = х₂ и у₁ = у₂. Таким образом, координаты равных векторов соответственно равны.

Рассмотрим правила, позволяющие по координатам векторов находить координаты их суммы, разности и произведения вектора на число.

1⁰. Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

Докажем это утверждение для двух векторов. Рассмотрим векторы {x₁; j₁} и {х₂; у₂}. Так как и то, пользуясь свойствами сложения векторов и умножения вектора на число, получим:

Отсюда следует, что координаты вектора + равны {х₁ + х₂; у₁ + у₂).

Аналогично доказывается следующее утверждение:

2⁰. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

Иными словами, если {х₁; у₁) и {х₂; у₂} — данные векторы, то вектор - имеет координаты {x₁ - х₂; y₁ - у₂). Проведите доказательство самостоятельно.

3⁰. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

В самом деле, пусть вектор имеет координаты {х; у). Найдём координаты вектора , где k — произвольное число. Так как то . Отсюда следует, что координаты вектора равны {kx; ky}.

Рассмотренные правила позволяют определить координаты любого вектора, представленного в виде алгебраической суммы данных векторов с известными координатами. Пусть, например, требуется найти координаты вектора , если известно, что {1;-2}, {0; 3},

По правилу 3⁰ вектор 2 имеет координаты {2; -4}, а вектор координаты {0; -1}. Так как то координаты вектора можно найти по правилу 1⁰: {2 + 0 - 2; -4 - 1 + 3}.

Итак, вектор имеет координаты {0; -2}.

Задачи

911. Найдите такое число k, чтобы выполнялось равенство если известно, что:
а) векторы противоположно направлены и ;
б) векторы сонаправлены и ;
в) векторы противоположно направлены и ;
г) векторы сонаправлены и .

912. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О, М — середина отрез ка АО. Найдите, если это возможно, та кое число k, чтобы выполнялось равенство:

913. Векторы и коллинеарны. Коллинеарны ли векторы: Ответ обоснуйте.

914. Докажите, что если векторы + и - не коллинеарны, то:
а) векторы и не коллинеарны;
б) векторы 2- и и не коллинеарны;
в) векторы + и + 3 не коллинеарны.

915. Точка М лежит на диагонали АС параллелограмма ABCD, причём AM : МС = 4:1. Разложите вектор по векторам .

916. Векторы и не коллинеарны. Найдите числа х и у, удовлетворяющие равенству:

917. Начертите прямоугольную систему координат Оху и координатные векторы и . Постройте векторы с началом в точке О, заданные координатами

918. Разложите векторы изображённые на рисунке 276, а, б, в, по координатным векторам и и найдите их координаты.

Рис. 276

919. Выпишите координаты векторов

920. Запишите разложение по координатным векторам и

вектора:

921. Найдите числа х и у, удовлетворяющие условию:

922. Найдите координаты вектора - если:

923. Найдите координаты вектора + если:

924. Найдите координаты векторов если {3; 2}.

925. Даны векторы Найдите координаты векторов, противоположных данным.

926. Найдите координаты вектора если:

927. Докажите, что если два вектора коллинеарны, то координаты одного вектора пропорциональны координатам другого. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

928. Даны векторы . Укажите среди этих векторов попарно коллинеарные векторы.