>>> Перейти на мобильный размер сайта >>>

Учебник для 7-9 классов

Геометрия

§ 2. Сложение и вычитание векторов

Сумма двух векторов

Рассмотрим пример. Пусть материальная точка переместилась из точки А в точку В, а затем из точки В в точку С (рис. 249). В результате этих двух перемещений, которые можно представить векторами и , материальная точка переместилась из точки А в точку С. Поэтому результирующее перемещение можно представить вектором . Поскольку перемещение из точки А в точку С складывается из перемещения из А в В и перемещения из В в С, то вектор естественно назвать суммой векторов и : = +

Рис. 249

Рассмотренный пример приводит нас к понятию суммы двух векторов.

Пусть и — два вектора. Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки вектор , равный (рис. 250). Затем от точки В отложим вектор , равный . Вектор называется суммой векторов и .

Рис. 250

Такое правило сложения векторов называется правилом треугольника. Рисунок 250 поясняет это название.

Докажем, что если при сложении векторов и точку А, от которой откладывается вектор = , заменить другой точкой А₁ то вектор заменится равным ему вектором Иными словами, докажем, что если = и = то = (рис. 251).

Рис. 251

Допустим, что точки А, В, А₁, точки В, С, В, и точки А, С, А₁ не лежат на одной прямой (остальные случаи рассмотрите самостоятельно). Из равенства = следует, что стороны АВ и А₁В₁ четырёхугольника АВВ₁А₁ равны и параллельны, поэтому этот четырёхугольник — параллелограмм. Следовательно, Аналогично из равенства = следует, что четырёхугольник ВСС₁В₁ — параллелограмм. Поэтому На основе полученных равенств заключаем, что . Поэтому AA₁C₁C — параллелограмм, и, значит, = что и требовалось доказать.

Сумма векторов и обозначается так: + .

Складывая по правилу треугольника произвольный вектор с нулевым вектором, получаем, что для любого вектора справедливо равенство = .

Правило треугольника можно сформулировать также следующим образом: если А, В и С — произвольные точки, то + = . Подчеркнём, что это равенство справедливо для произвольных точек А, В и С, в частности, в том случае, когда две из них или даже все три совпадают.

Законы сложения векторов. Правило параллелограмма

Теорема

Для любых векторов справедливы равенства:
1⁰. (переместительный закон).

2⁰. (сочетательный закон).

Доказательство

1⁰. Рассмотрим случай, когда векторы и не коллинеарны (случай коллинеарных векторов и рассмотрите самостоятельно). От произвольной точки А отложим векторы и и на этих векторах построим параллелограмм ABCD, как показано на рисунке 252. По правилу треугольника Аналогично Отсюда следует, что

Рис. 252

2⁰. От произвольной точки А отложим вектор , от точки В — вектор , а от точки С — вектор (рис. 253). Применяя правило треугольника, получим:

Отсюда следует, что Теорема доказана.

При доказательстве утверждения 1⁰ мы обосновали так называемое правило параллелограмма сложения неколлинеарных векторов: чтобы сложить неколлинеарные векторы и , нужно отложить от какой-нибудь точки А векторы и и построить параллелограмм ABCD (см. рис. 252). Тогда вектор равен + . Правило параллелограмма часто используется в физике, например при сложении двух сил.

Сумма нескольких векторов

Сложение нескольких векторов производится следующим образом: первый вектор складывается со вторым, затем их сумма складывается с третьим вектором и т. д. Из законов сложения векторов следует, что сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются. На рисунке 253 показано построение суммы векторов от произвольной точки А отложен вектор = затем от точки B отложен вектор = и, наконец, от точки С отложен вектор В результате получается вектор

Рис. 253

Аналогично можно построить сумму четырёх, пяти и вообще любого числа векторов. На рисунке 254 показано построение суммы шести векторов. Это правило построения суммы нескольких векторов называется правилом многоугольника. Рисунок 254 поясняет название.

Рис. 254

Правило многоугольника можно сформулировать также следующим образом: если А₁, А₂, ..., А_n — произвольные точки плоскости, (на рисунке 255, а n = 7). Это равенство справедливо для любых точек А₁, А₂, ..., А_n, в частности в том случае, когда некоторые из них совпадают. Например, если начало первого вектора совпадает с концом последнего вектора, то сумма данных векторов равна нулевому вектору (рис. 255, б).

Рис. 255

Вычитание векторов

Разностью векторов и называется такой вектор, сумма которого с вектором равна вектору

Разность векторов и обозначается так: - .

Рассмотрим задачу о построении разности двух векторов.

Задача

Даны векторы и . Построить вектор - .

Решение

Отметим на плоскости произвольную точку О и отложим от этой точки векторы и (рис. 256). По правилу треугольника или Таким образом, сумма векторов равна . По определению разности векторов это означает, что т. е. вектор искомый. Задачу о построении разности двух векторов можно решить и другим способом. Прежде чем указать этот способ, введём понятие вектора, противоположного данному.

Рис. 256

Пусть — произвольный ненулевой вектор. Вектор ₁ называется противоположным вектору , если векторы и ₁ имеют равные длины и противоположно направлены. На рисунке 257 вектор является противоположным вектору Вектором, противоположным нулевому вектору, считается нулевой вектор.

Рис. 257

Вектор, противоположный вектору , обозначается так: Очевидно,

Докажем теперь теорему о разности двух векторов.

Теорема

Для любых векторов и справедливо равенство

Доказательство

По определению разности векторов . Прибавив к обеим частям этого равенства вектор получим:

откуда

Теорема доказана.

Приведём теперь другое решение задачи о построении разности векторов и . Отметим на плоскости произвольную точку О и отложим от этой точки вектор (рис. 258). Затем от точки А отложим вектор . По теореме о разности векторов , поэтому , т. е. вектор искомый.

Рис. 258

Практические задания

753. Турист прошёл 20 км на восток из города А в город В, а потом 30 км на восток в город С. Выбрав подходящий масштаб, начертите векторы и . Равны ли векторы + и ?

754. Начертите попарно неколлинеарные векторы и постройте векторы .

755. Начертите попарно неколлинеарные векторы и, пользуясь правилом многоугольника, постройте вектор

756. Начертите попарно неколлинеарные векторы и постройте векторы

757. Начертите векторы так, чтобы . Постройте векторы .

758. Начертите два ненулевых коллинеарных вектора и так, чтобы Постройте векторы: Выполните ещё раз построение для случая, когда

Задачи

759. Дан произвольный четырёхугольник MNPQ. Докажите, что:

760. Докажите, что для любых двух неколлинеарных векторов справедливо неравенство

761. Докажите, что если А, В, С, и D — произвольные точки, то

762. Сторона равностороннего треугольника АВС равна а. Найдите:

763. В треугольнике АВС АВ = 6, ВС = 8, ∠B = 90°. Найдите:

764. Пользуясь правилом многоугольника, упростите выражение:

765. Пусть X, Y и Z — произвольные точки. Докажите, что векторы нулевые.

766. На рисунке 259 изображены векторы , , Представьте вектор в виде суммы остальных или им противоположных векторов.

Рис. 259

767. Дан треугольник АВС. Выразите через векторы следующие векторы:

Решение

а) Векторы противоположные, поэтому или

б) По правилу треугольника . Но поэтому .

768. Точки М и N — середины сторон АВ и АС треугольника АВС. Выразите векторы через векторы .

769. Отрезок ВВ₁ — медиана треугольника АВС. Выразите векторы через .

770. Дан параллелограмм ABCD. Выразите вектор через векторы и , если: ; .

771. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Выразите через векторы , , .

772. Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что , где X — произвольная точка плоскости.

773. Докажите, что для любых двух векторов справедливо неравенство . В каком случае ?

774. Парашютист спускался на землю со скоростью 3 м/с. Порывом ветра его начинает относить в сторону со скоростью 3√3 м/с. Под каким углом к вертикали спускается парашютист?