Учебник для 7-9 классов

Геометрия

§ 2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции

Площадь параллелограмма

Условимся одну из сторон параллелограмма называть основанием, а перпендикуляр, проведённый из любой точки противоположной стороны к прямой, содержащей основание, — высотой параллелограмма.

Теорема

Доказательство

Рассмотрим параллелограмм ABCD с площадью S. Примем сторону AD за основание и проведём высоты ВН и СК (рис. 182). Докажем, что S = AD • ВН.

Рис. 182

Докажем сначала, что площадь прямоугольника НВСК также равна S. Трапеция АВСК составлена из параллелограмма ABCD и треугольника DCK. С другой стороны, она составлена из прямоугольника НВСК и треугольника АВН. Но прямоугольные треугольники DCK и АВН равны по гипотенузе и острому углу (их гипотенузы АВ и CD равны как противоположные стороны параллелограмма, а углы 1 и 2 равны как соответственные углы при пересечении параллельных прямых АВ и CD секущей AD), поэтому их площади равны.

Следовательно, площади параллелограмма ABCD и прямоугольника НВСК также равны, т. е. площадь прямоугольника НВСК равна S. По теореме о площади прямоугольника S = ВС • ВН, а так как ВС = AD, то S = AD • ВН. Теорема доказана.

Площадь треугольника

Одну из сторон треугольника часто называют его основанием. Если основание выбрано, то под словом «высота» подразумевают высоту треугольника, проведённую к основанию. Теорема

Доказательство

Пусть S — площадь треугольника АВС (рис. 183). Примем сторону АВ за основание треугольника и проведём высоту СН. Докажем, что .

Рис. 183

Достроим треугольник АВС до параллелограмма ABDC так, как показано на рисунке 183. Треугольники АВС и DCB равны по трём сторонам (ВС — их общая сторона, АВ = CD и АС = BD как противоположные стороны параллелограмма ABDC), поэтому их площади равны. Следовательно, площадь S треугольника АВС равна половине площади параллелограмма ABDC, т. е. . Теорема доказана.

Следствие 1

Следствие 2

Воспользуемся следствием 2 для доказательства теоремы об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу.

Теорема

Доказательство

Пусть S и S₁ — площади треугольников АВС и A₁B₁C₁, у которых ∠A = ∠A₁ (рис. 184, а). Докажем, что .

Рис. 184

Наложим треугольник A₁B₁C₁ на треугольник ABC так, чтобы вершина А₁ совместилась с вершиной А, а стороны А₁В₁ и A₁С₁ наложились соответственно на лучи АВ и АС (рис. 184, б). Треугольники АВС и АВ₁С имеют общую высоту — CН, поэтому .

Треугольники АВ₁С и АВ₁С₁ также имеют общую высоту — В₁Н₁, поэтому . Перемножая полученные равенства, находим:

Теорема доказана.

Площадь трапеции

Для вычисления площади произвольного многоугольника обычно поступают так: разбивают многоугольник на треугольники и находят площадь каждого треугольника. Сумма площадей этих треугольников равна площади данного многоугольника (рис. 185, а). Используя этот приём, выведем формулу для вычисления площади трапеции. Условимся называть высотой трапеции перпендикуляр, проведённый из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание. На рисунке 185, б отрезок ВН (а также отрезок DH₁) — высота трапеции ABCD.

Рис. 185

Теорема

Доказательство

Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и ВС, высотой ВН и площадью S (см. рис. 185, б).

Докажем, что

Диагональ BD разделяет трапецию на два треугольника ABD и BCD, поэтому S = S_ABD + S_BCD.

Примем отрезки AD и ВН за основание и высоту треугольника ABD, а отрезки ВС и DH₁ за основание и высоту треугольника BCD. Тогда

.

Теорема доказана.

Задачи

459. Пусть а — основание, h — высота, a S — площадь параллелограмма. Найдите: a) S, если а = 15 см, h = 12 см; б) а, если S = 34 cм², h = 8,5 см; в) а, если S = 162 cм², h = 1/2a; г) h, если h = 3а, S = 27.

460. Диагональ параллелограмма, равная 13 см, перпендикулярна к стороне параллелограмма, равной 12 см. Найдите площадь параллелограмма.

461. Смежные стороны параллелограмма равны 12 см и 14 см, а его острый угол равен 30°. Найдите площадь параллелограмма.

462. Сторона ромба равна 6 см, а один из углов равен 150°. Найдите площадь ромба.

463. Сторона параллелограмма равна 8,1 см, а диагональ, равная 14 см, образует с ней угол в 30°. Найдите площадь параллелограмма.

464. Пусть а и b — смежные стороны параллелограмма, S — площадь, a h₁ и h₂ — его высоты. Найдите: a) h₂, если а = 18 см, b = 30 см, h₁ = 6 см, h₂ > h₁; б) h₁, если а =10 см, 6 =15 см, h₂ = 6 см, h₂ > h₁ в) h₁ и h₂, если S = 54 см², а = 4,5 см, b = 6 см.

465. Острый угол параллелограмма равен 30°, а высоты, проведённые из вершины тупого угла, равны 2 см и 3 см. Найдите площадь параллелограмма.

466. Диагональ параллелограмма равна его стороне. Найдите площадь параллелограмма, если большая его сторона равна 15,2 см, а один из его углов 45°.

467. Квадрат и ромб, не являющийся квадратом, имеют одинаковые периметры. Сравните площади этих фигур.

468. Пусть а — основание, h — высота, a S — площадь треугольника. Найдите: a) S, если а = 7 см, h = 11 см; б) S, если а = 2√3 см, h = 5 см; в) h, если S = 37,8 см², а - 14 см; г) а, если S = 12 см², h = 3√2 см.

469. Стороны АВ и ВС треугольника АВС равны соответственно 16 см и 22 см, а высота, проведённая к стороне АВ, равна 11 см. Найдите высоту, проведённую к стороне ВС.

470. Две стороны треугольника равны 7,5 см и 3,2 см. Высота, проведённая к большей стороне, равна 2,4 см. Найдите высоту, проведённую к меньшей из данных сторон.

471. Д Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны: а) 4 см и 11 см; б) 1,2 дм и 3 дм.

472. Площадь прямоугольного треугольника равна 168 см². Найдите его катеты, если отношение их длин равно 7/12.

473. Через вершину С треугольника АВС проведена прямая m, параллельная стороне АВ. Докажите, что все треугольники с вершинами на прямой m и основанием АВ имеют равные площади.

474. Сравните площади двух треугольников, на которые разделяется данный треугольник его медианой.

475. Начертите треугольник АВС. Через вершину А проведите две прямые так, чтобы они разделили этот треугольник на три треугольника, имеющие равные площади.

476. Докажите, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Вычислите площадь ромба, если его диагонали равны: а) 3,2 дм и 14 см; б) 4,6 дм и 2 дм.

477. Найдите диагонали ромба, если одна из них в 1,5 раза больше другой, а площадь ромба равна 27 см².

478. В выпуклом четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей.

479. Точки D и Е лежат на сторонах АВ и АС треугольника АВС. Найдите: a) S_ADE, если АВ = 5 см, АС = 6 см, AD = Зсм, АЕ = 2 см, S_ABC = 10 cм²; б) AD, если АВ = 8 см, АС = 3 см, АЕ = 2 см, S_ABC = 10 см², S_ADE = 2 см².

480. Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями АВ и CD, если:

а) АВ = 21 см, CD= 17 см, высота ВН равна 7 см;
б) ∠D = 30°, АВ = 2 см, CD = 10 см, DA = 8 см;
в) ВС ⊥ АВ, АВ = 5 см, ВС = 8 см, CD = 13 см.

481. Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны равны 6 см, а больший угол равен 135°.

482. Тупой угол равнобедренной трапеции равен 135°, а высота, проведённая из вершины этого угла, делит большее основание на отрезки 1,4 см и 3,4 см. Найдите площадь трапеции.

Ответы к задачам

459. а) 180 см²; б) 4 см; в) 18 см; г) 9.

460. 156 см².

461. 84 см².

462. 18 см².

463. 56,7 см².

464. а) 10 см; б) 4 см; в) 12 см и 9 см.

465. 12 см².

466. 115,52 см².

467. Площадь квадрата больше.

468. а) 38,5 см²; б) 5√3 см²; в) г) 4√2 см.

469. 8 см.

470. 5,625 см.

471. а) 22 см²; б) 1,8 дм².

472. 14 см и 24 см.

473. Указание. Воспользоваться теоремой п. 38.

474. Площади треугольников равны.

475. Указание. Сначала разделить сторону ВС на три равные части.

476. а) 224 см²; б) 4,6 дм². Указание. Учесть, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

477. 6 см и 9 см.

479. а) 2 см²; б) 2,4 см. Указание. Воспользоваться второй теоремой п. 53.

480. а) 133 см²; б) 24 см²; в) 72 см².

481. 54 см².

482. 4,76 см².