Учебник для 7-9 классов

Геометрия

§ 1. Площадь многоугольника

Понятие площади многоугольника

Что такое площадь комнаты и как её вычислить, если пол в комнате имеет форму прямоугольника, понятно каждому. В этой главе речь пойдёт об измерении площадей многоугольников и будут выведены формулы, по которым можно вычислить площади прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции. Эти формулы нужны не только в геометрии, но и в практической деятельности. Кроме того, используя формулы площадей, мы докажем одну из важнейших и самых знаменитых теорем геометрии — теорему Пифагора.

Понятие площади нам известно из повседневного опыта. Каждый понимает смысл слов: площадь комнаты равна шестнадцати квадратным метрам, площадь садового участка — восьми соткам и т. д. В этой главе мы рассмотрим вопрос о площадях многоугольников.

Можно сказать, что площадь многоугольника — это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник. Измерение площадей проводится с помощью выбранной единицы измерения аналогично измерению длин отрезков. За единицу измерения площадей принимают квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков. Так, если за единицу измерения отрезков принят сантиметр, то за единицу измерения площадей принимают квадрат со стороной 1 см. Такой квадрат называется квадратным сантиметром и обозначается см². Аналогично определяется квадратный метр (м²), квадратный миллиметр (мм²) и т. д.

При выбранной единице измерения площадей площадь каждого многоугольника выражается положительным числом. Это число показывает, сколько раз единица измерения и её части укладываются в данном многоугольнике. Рассмотрим примеры. На рисунке 177, а изображён прямоугольник, в котором квадратный сантиметр укладывается ровно 6 раз. Это означает, что площадь прямоугольника равна 6 см².

В трапеции ABCD, изображённой на рисунке 177, б, квадратный сантиметр укладывается два раза и остаётся часть трапеции — треугольник CDE, в котором квадратный сантиметр не укладывается целиком. Для измерения площади этого треугольника нужно использовать доли квадратного сантиметра, например квадратный миллиметр. Он составляет 0,01 часть квадратного сантиметра. Это показано на рисунке 177,в, где квадратный сантиметр разбит на 100 квадратных миллиметров (этот рисунок, а также рисунок 177, г для большей наглядности даны в увеличенном масштабе).

Рис. 177

На рисунке 177, г видно, что квадратный миллиметр укладывается в треугольнике CDE 14 раз, и остаётся часть этого треугольника (она закрашена на рисунке), в которой квадратный миллиметр не укладывается целиком. Поэтому можно сказать, что площадь трапеции ABCD приближённо равна 2,14 см².

Оставшуюся часть треугольника CDE можно измерить с помощью более мелкой доли квадратного сантиметра и получить более точное значение площади трапеции.

Описанный процесс измерения можно продолжить далее, однако на практике он неудобен.

Обычно измеряют лишь некоторые связанные с многоугольником отрезки, а затем вычисляют площадь по определённым формулам.

Вывод этих формул основан на свойствах площадей, которые мы сейчас рассмотрим.

Прежде всего отметим, что если два многоугольника равны, то единица измерения площадей и её части укладываются в таких многоугольниках одинаковое число раз, т. е. имеет место следующее свойство:

Далее, пусть многоугольник составлен из нескольких многоугольников так, что внутренние области любых двух из этих многоугольников не имеют общих точек, как показано на рисунке 178. Очевидно, величина части плоскости, занимаемой всем многоугольником, является суммой величин тех частей плоскости, которые занимают составляющие его многоугольники. Итак:

Рис. 178

Свойства 1⁰ и 2⁰ называют основными свойствами площадей. Напомним, что аналогичными свойствами обладают длины отрезков.

Наряду с этими свойствами нам понадобится ещё одно свойство площадей.

Краткую формулировку этого свойства следует понимать так: если сторона квадрата при выбранной единице измерения отрезков выражается числом а, то площадь этого квадрата выражается числом а².

На рисунке 179 изображён квадрат, сторона которого равна 2,1 см. Он состоит из четырёх квадратных сантиметров и сорока одного квадратного миллиметра. Таким образом, площадь квадрата равна 4,41 см², что равно квадрату его стороны: 4,41 = (2,1)². Доказательство утверждения 3⁰ приведено в следующем пункте.

Рис. 179

Если площади двух многоугольников равны, то эти многоугольники называются равновеликими. Если один многоугольник разрезан на несколько многоугольников и из них составлен другой многоугольник, то такие многоугольники называются равносоставленными. Например, прямоугольник со сторонами, равными 2 см и Зсм (см. рис. 177, а), равносоставлен с прямоугольником со сторонами, равными 1 см и 6 см. Ясно, что любые два равносоставленных многоугольника равновеликие (см. основные свойства площадей). Оказывается, что верно и обратное утверждение: если два многоугольника равновеликие, то они равносоставленные. Это утверждение называется теоремой Бойяи — Гервина. Венгерский математик Ф. Бойяи доказал эту теорему в 1832 г., а немецкий математик-любитель П. Гервин независимо от Ф. Бойяи доказал её в 1833 г.

Площадь квадрата

Докажем, что площадь S квадрата со стороной а равна а².

Начнём с того случая, когда a=1/2 где n — целое число. Возьмём квадрат со стороной 1 и разобьём его на n² равных квадратов так, как показано на рисунке 180, а (на этом рисунке n = 5). Так как площадь большого квадрата равна 1, то площадь каждого маленького квадрата равна 1/n². Сторона каждого маленького квадрата равна 1/n равна а. Итак,

Пусть теперь число а представляет собой конечную десятичную дробь, содержащую п знаков после запятой (в частности, число а может быть целым, и тогда n = 0). Тогда число m + а • 10ⁿ Целое. Разобьём данный квадрат со стороной а на m² равных квадратов так, как показано на рисунке 180, б (на этом рисунке m = 7).

Рис. 180

При этом каждая сторона данного квадрата разобьётся на m равных частей, и, значит, сторона любого маленького квадрата равна

По формуле (1) площадь маленького квадрата равна Следовательно, площадь S данного квадрата равна

Наконец, пусть число а представляет собой бесконечную десятичную дробь. Рассмотрим число ап, получаемое из а отбрасыванием всех десятичных знаков после запятой, начиная с (n + 1)-го. Так как число а отличается от а_n не более чем на 1/10ⁿ то откуда

Ясно, что площадь S данного квадрата заключена между площадью квадрата со стороной а_n и площадью квадрата со стороной а_n+1.10ⁿ (рис. 180, в), т. е. между

Будем неограниченно увеличивать число n. Тогда число 1/10² будет становиться сколь угодно малым, и, значит, число будет сколь угодно мало отличаться от числа . Поэтому из неравенств (2) и (3) следует, что число S сколь угодно мало отличается от числа а². Следовательно, эти числа равны: S = a², что и требовалось доказать.

Площадь прямоугольника

Теорема

Доказательство

Рассмотрим прямоугольник со сторонами а, b и площадью S (рис. 181, а). Докажем, что S = ab.

Достроим прямоугольник до квадрата со стороной а + b, как показано на рисунке 181, б. По свойству 3⁰ площадь этого квадрата равна (а + b)².

Рис. 181

С другой стороны, этот квадрат составлен из данного прямоугольника с площадью S, равного ему прямоугольника с площадью S (свойство 1⁰ площадей) и двух квадратов с площадями а² и b² (свойство 3⁰ площадей). По свойству 2⁰ имеем:

(a + b)² = S + S + а² + b²,

или

а² + 2ab + b² = 2S + а² + b².

Отсюда получаем: S = ab. Теорема доказана.

Задачи

445. Вырежите из бумаги два равных прямоугольных треугольника и составьте из них: а) равнобедренный треугольник; б) прямоугольник; в) параллелограмм, отличный от прямоугольника. Сравните площади полученных фигур.

446. Начертите квадрат и примите его за единицу измерения площадей. Далее начертите: а) квадрат, площадь которого выражается числом 4; б) прямоугольник, отличный от квадрата, площадь которого выражается числом 4; в) треугольник, площадь которого выражается числом 2.

447. Начертите параллелограмм ABCD и отметьте точку М, симметричную точке D относительно точки С. Докажите, что S_ABCD = S_AMD.

448. На стороне AD прямоугольника ABCD построен треугольник ADE так, что его стороны АЕ и DE пересекают отрезок ВС в точках М и N, причём точка М — середина отрезка АЕ. Докажите, что S_ABCD = S_ADE.

449. Найдите площадь квадрата, если его сторона равна: а) 1,2 см; б) 3/4дм; в) 3√2 м.

450. Найдите сторону квадрата, если его площадь равна: а) 16 см²; б) 2,25 дм²; в) 12 м².

451. Площадь квадрата равна 24 см². Выразите площадь этого квадрата: а) в квадратных миллиметрах; б) в квадратных дециметрах.

452. Пусть а и b — смежные стороны прямоугольника, a S — его площадь. Вычислите:

a) S, если а = 8,5 см, b = 3,2 см;
б) S, если а = 2√2 см, b = 3 см;
в) 6, если а = 32 см, S = 684,8 см²;
г) а, если b = 4,5 см, S = 12,15 см².

453. Как изменится площадь прямоугольника, если: а) одну пару противоположных сторон увеличить в два раза; б) каждую сторону увеличить в два раза; в) одну пару противоположных сторон увеличить в два раза, а другую — уменьшить в два раза?

454. Найдите стороны прямоугольника, если: а) его площадь равна 250 см², а одна сторона в 2,5 раза больше другой; б) его площадь равна 9 м², а периметр равен 12 м.

455. Пол комнаты, имеющий форму прямоугольника со сторонами 5,5 м и 6 м, нужно покрыть паркетом прямоугольной формы. Длина каждой дощечки паркета равна 30 см, а ширина — 5 см. Сколько потребуется таких дощечек для покрытия пола?

456. Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 15 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 3 м и 2,7 м?

457. Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со смежными сторонами 8 м и 18 м.

458. Два участка земли огорожены заборами одинаковой длины. Первый участок имеет форму прямоугольника со сторонами 220 м и 160 м, а второй имеет форму квадрата. Площадь какого участка больше и на сколько?

Ответы к задачам

447. Указание. Пусть О — точка пересечения отрезков AM и ВС. Сначала доказать равенство треугольников АВО и МСО.

448. Указание. Провести перпендикуляр EF к прямой ВС и сначала доказать равенство треугольников АВМ и EFM, DCN и EFN.

449. а) 1,44 см²; б) 9/16дм²; в) 18 м².

450. а) 4 см; б) 1,5 дм; в) 2√3 м.

451. а) 2400 мм²; б) 0,24 дм².

452. а) 27,2 см²; б) 6√2 см²; в) 21,4 см; г) 2,7 см.

453. а) Увеличится в два раза; б) увеличится в четыре раза; в) не изменится.

454. а) 25 см и 10 см; б) каждая сторона равна 3 м.

455. 2200.

456. 360.

457. 12 м.

458. Площадь участка квадратной формы больше на 900 м²