Учебник для 7-9 классов

Геометрия

§ 3. Прямоугольник, ромб, квадрат

Прямоугольник

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые. Так как прямоугольник является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма: в прямоугольнике противоположные стороны равны, а диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Рассмотрим особое свойство прямоугольника.

Действительно, обратимся к рисунку 168, на котором изображён прямоугольник ABCD с диагоналями АС и BD. Прямоугольные треугольники ACD и DBA равны по двум катетам (CD = BA, AD — общий катет). Отсюда следует, что гипотенузы этих треугольников равны, т. е. АС = BD, что и требовалось доказать.

Рис. 168

Докажем обратное утверждение (признак прямоугольника).

Пусть в параллелограмме ABCD диагонали АС и BD равны (см. рис. 168). Треугольники ABD и DC А равны по трём сторонам (AB = DC, BD = CA, AD — общая сторона). Отсюда следует, что ∠A = ∠D. Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то ∠A = ∠C и ∠B = ∠D. Таким образом, ∠A = ∠B = ∠C = ∠D. Параллелограмм — выпуклый четырёхугольник, поэтому ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°. Следовательно, ∠A — ∠B = ∠C = ∠D = 90°, т. е. параллелограмм ABCD является прямоугольником.

Ромб и квадрат

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Так как ромб является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма. Наряду с ними ромб обладает особым свойством. Рассмотрим его.

Рассмотрим ромб ABCD (рис. 169). Требуется доказать, что его диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны и каждая диагональ делит соответствующие углы ромба пополам. Докажем, например, что ∠ВАС = ∠DAC.

Рис. 169

По определению ромба все его стороны равны, в частности АВ = AD, поэтому треугольник BAD равнобедренный. Так как ромб является параллелограммом, то его диагонали точкой О пересечения делятся пополам. Следовательно, отрезок АО — медиана равнобедренного треугольника BAD, проведённая к основанию, а значит, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому AC ⊥ BD и ∠BAC = ∠DAC, что и требовалось доказать.

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Прямоугольник является параллелограммом, поэтому и квадрат является параллелограммом, у которого все стороны равны, т. е. ромбом. Отсюда следует, что квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба. Сформулируем основные свойства квадрата.

Рис. 170

Осевая и центральная симметрии

Две точки А и A₁ называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА₁ и перпендикулярна к нему (рис. 171, а). Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе. На рисунке 171, б точки М и М₁, N и N₁ симметричны относительно прямой b, а точка Р симметрична самой себе относительно этой прямой.

Рис. 171

Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией.

Приведём примеры фигур, обладающих осевой симметрией (рис. 172). У неразвёрнутого угла одна ось симметрии — прямая, на которой расположена биссектриса угла. Равнобедренный (но не равносторонний) треугольник имеет также одну ось симметрии, а равносторонний треугольник — три оси симметрии. Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами, имеют по две оси симметрии, а квадрат — четыре оси симметрии. У окружности их бесконечно много — любая прямая, проходящая через её центр, является осью симметрии.

Рис. 172

Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. К таким фигурам относятся параллелограмм, отличный от прямоугольника и ромба, разносторонний треугольник.

Две точки А и A₁ называются симметричными относительно точки О, если О — середина отрезка АА₁ (рис. 173, а). Точка О считается симметричной самой себе. На рисунке 173, б точки М и М₁, N и N₁ симметричны относительно точки О, а точки Р и Q не симметричны относительно этой точки.

Рис. 173

Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией.

Примерами фигур, обладающих центральной симметрией, являются окружность и параллелограмм (рис. 174). Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма — точка пересечения его диагоналей. Прямая также обладает центральной симметрией, однако в отличие от окружности и параллелограмма, которые имеют только один центр симметрии (точка О на рисунке 174), у прямой их бесконечно много — любая точка прямой является её центром симметрии. Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является произвольный треугольник.

Рис. 174

Изображения на плоскости многих предметов окружающего нас мира имеют ось симметрии или центр симметрии. Многие листья деревьев и лепестки цветов симметричны относительно среднего стебля (рис. 175).

Рис. 175

С симметрией мы часто встречаемся в искусстве, архитектуре, технике, быту. Так, фасады многих зданий обладают осевой симметрией (рис. 176). В большинстве случаев симметричны относительно оси или центра узоры на коврах, тканях, комнатных обоях. Симметричны многие детали механизмов, например зубчатые колёса.

Рис. 176

Задачи

399. Докажите, что параллелограмм, один из углов которого прямой, является прямоугольником.

400. Докажите, что если в четырёхугольнике все углы прямые, то четырёхугольник — прямоугольник.

401. Найдите периметр прямоугольника ABCD, если биссектриса угла А делит сторону: а) ВС на отрезки 45,6 см и 7,85 см; б) DC на отрезки 2,7 дм и 4,5 дм.

402. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники AOD и АОВ равнобедренные.

403. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Найдите периметр треугольника АОВ, если ∠CAD = 30°, АС = 12 см.

404. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

405. В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите: а) углы ромба; б) углы, которые диагонали ромба образуют с его сторонами.

406. Найдите периметр ромба ABCD, в котором ∠B = 60°, АС= 10,5 см.

407. Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен 45°.

408. Докажите, что параллелограмм является ромбом, если: а) его диагонали взаимно перпендикулярны; б) диагональ делит его угол пополам.

409. Докажите, что ромб, у которого один угол прямой, является квадратом.

410. Является ли четырёхугольник квадратом, если его диагонали: а) равны и взаимно перпендикулярны; б) взаимно перпендикулярны и имеют общую середину; в) равны, взаимно перпендикулярны и имеют общую середину?

411. В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямого угла. Через точку пересечения этой биссектрисы с гипотенузой проведены прямые, параллельные катетам. Докажите, что полученный четырёхугольник — квадрат.

412. Даны равнобедренный прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С, катетом АС = 12см и квадрат CDEF, такой, что две его стороны лежат на катетах, а вершина Е — на гипотенузе треугольника. Найдите периметр квадрата.

413. Постройте прямоугольник: а) по двум смежным сторонам; б) по стороне и диагонали; в) по диагонали и углу между диагоналями.

414. Постройте ромб: а) по двум диагоналям; б) по стороне и углу.

415. Постройте квадрат: а) по стороне; б) по диагонали.

416. О Даны две точки А и В, симметричные относительно некоторой прямой, и точка М. Постройте точку, симметричную точке М относительно той же прямой.

417. Сколько осей симметрии имеет: а) отрезок; б) прямая; в) луч?

418. Какие из следующих букв имеют ось симметрии: А, Б, Г, Е О, F?

419. Докажите, что прямая, проходящая через середины противоположных сторон прямоугольника, является его осью симметрии.

420. Докажите, что прямая, содержащая биссектрису равнобедренного треугольника, проведённую к основанию, является осью симметрии треугольника.

421. Даны точки А, В и М. Постройте точку, симметричную точке М относительно середины отрезка АВ.

422. Имеют ли центр симметрии: а) отрезок; б) луч; в) пара пересекающихся прямых; г) квадрат?

423. Какие из следующих букв имеют центр симметрии: А, О, М, X, К?

Ответы к задачам

401. а) 198,1см или 122,6 см; б) 23,4 дм или 19,8 дм.

403. 18 см.

404. Указание. Пусть ВМ — медиана прямоугольного треугольника АВС, проведённая к гипотенузе АС. Рассмотреть четырёхугольник ABCD, где D — точка, симметричная точке В относительно точки М.

405. а) 60° и 120°; б) 30° и 60°.

406. 42 см. 407. 22°30' и 67°30'.

410. а) Нет; б) нет; в) да.

412. 24 см.

417. а) Две; б) бесконечное множество: любая прямая, перпендикулярная к данной, а также сама прямая; в) одну.

418. А, Е, О.

422. а) Да; б) нет; в) да; г) да.

423. О и X.