Учебник для 7-9 классов

Геометрия

Вопросы для повторения к главе II

1. Объясните, какая фигура называется треугольником. Начертите треугольник и покажите его стороны, вершины и углы. Что такое периметр треугольника?

2. Какие треугольники называются равными?

3. Что такое теорема и доказательство теоремы?

4. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую первый признак равенства треугольников.

5. Объясните, какой отрезок называется перпендикуляром, проведённым из данной точки к данной прямой.

6. Сформулируйте и докажите теорему о перпендикуляре, проведённом из данной точки к данной прямой.

7. Какой отрезок называется медианой треугольника? Сколько медиан имеет треугольник?

8. Какой отрезок называется биссектрисой треугольника? Сколько биссектрис имеет треугольник?

9. Какой отрезок называется высотой треугольника? Сколько высот имеет треугольник?

10. Какой треугольник называется равнобедренным? Как называются его стороны?

11. Какой треугольник называется равносторонним?

12. Докажите, что углы при основании равнобедренного треугольника равны.

13. Сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе равнобедренного треугольника.

14. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую второй признак равенства треугольников.

15. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую третий признак равенства треугольников.

16. Что такое определение? Дайте определение окружности. Что такое центр, радиус, хорда и диаметр окружности?

17. Объясните, как отложить на данном луче от его начала отрезок, равный данному.

18. Объясните, как отложить от данного луча угол, равный данному.

19. Объясните, как построить биссектрису данного угла.

20. Объясните, как построить прямую, проходящую через данную точку, лежащую на данной прямой, и перпендикулярную к этой прямой.

21. Объясните, как построить середину данного отрезка.

Дополнительные задачи к главе II

156. Периметр треугольника АВС равен 15 см. Сторона ВС больше стороны АВ на 2 см, а сторона АВ меньше стороны АС на 1 см. Найдите стороны треугольника.

157. В равнобедренном треугольнике основание больше боковой стороны на 2 см, но меньше суммы боковых сторон на 3 см. Найдите стороны треугольника.

158. Основание равнобедренного треугольника равно 8 см. Медиана, проведённая к боковой стороне, разбивает треугольник на два треугольника так, что периметр одного треугольника на 2 см больше периметра другого. Найдите боковую сторону данного треугольника.

159. Докажите, что два равнобедренных треугольника равны, если боковая сторона и угол, противолежащий основанию, одного треугольника соответственно равны боковой стороне и углу, противолежащему основанию, другого треугольника.

160. Прямая а проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна к нему. Докажите, что: а) каждая точка прямой а равноудалена от точек А и В; б) каждая точка, равноудалённая от точек А и В, лежит на прямой а.

161. В треугольниках АВС и А₁В₁С₁ медианы AM и А₁М₁ равны, ВС = В₁С₁ и ∠AMB = ∠A₁M₁B₁. Докажите, что ΔАВС = ΔА₁В₁С₁.

162. На рисунке 92 треугольник ADE равнобедренный, DE — основание. Докажите, что: а) если BD-СЕ, то ∠CAD = ∠BAE и АВ = АС; б) если ∠CAD = ∠BAE, то BD = CE и АВ = АС.

Рис. 92

163. Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника.

164. На сторонах равностороннего треугольника АВС отложены равные отрезки AD, BE и CF, как показано на рисунке 93. Точки D, Е, F соединены отрезками. Докажите, что треугольник DEF — равносторонний.

Рис. 93

165. Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине О. На отрезках АС и BD отмечены точки К и К₁ так, что АК = ВК₁. Докажите, что: а) ОК = ОК₁; б) точка О лежит на прямой КК₁.

166. Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине О. Точки М и N — середины отрезков АС и BD. Докажите, что точка О — середина отрезка MN.

167. Стороны равностороннего треугольника АВС продолжены, как показано на рисунке 94, на равные отрезки AD, СЕ, BF. Докажите, что треугольник DEF — равносторонний.

Рис. 94

168. В треугольнике ABC ∠A = 38°, ∠B = 110°, ∠C = 32°. На стороне АС отмечены точки D и Е так, что точка D лежит на отрезке АЕ, BD = DA, ВЕ = ЕС. Найдите угол DBE.

169. На рисунке 95 OC = OD, ОВ = ОЕ. Докажите, что AB = EF. Объясните способ измерения ширины озера (отрезка АВ на рисунке 95), основанный на этой задаче.

Рис. 95

170. Докажите, что треугольники АВС и А₁В₁С₁ равны, если АВ = А₁В₁, ∠A = ∠A₁, AD = A₁D₁, где AD и A₁D₁ — биссектрисы треугольников.

171. В треугольниках АВС и ADC стороны ВС и AD равны и пересекаются в точке О, ∠OAC = ∠OCA. Докажите, что треугольники АВО и С DO равны.

172. На рисунке 96 AC = AD, AB ⊥ CD. Докажите, что BC = BD и ∠ACB = ∠ADB.

Рис. 96

173.* Докажите, что угол, смежный с углом треугольника, больше каждого из двух других углов треугольника.

174.* Докажите, что ΔАВС = ΔА₁В₁С₁, если ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, ВС = В₁С₁.

175.* На сторонах угла XOY отмечены точки А, В, С и D так, что ОА = ОВ, AC = BD (рис. 97). Прямые AD и ВС пересекаются в точке Е. Докажите, что луч ОЕ — биссектриса угла XOY. Опишите способ построения биссектрисы угла, основанный на этом факте.

Рис. 97

176.* Докажите, что треугольники АВС и А₁В₁С₁ равны, если АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁, AM = А₁М₁, где AM и А₁М₁ — медианы треугольников.

177.* Даны два треугольника: АВС и А₁В₁С₁. Известно, что АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁, ∠A = ∠A₁. На сторонах АС и ВС треугольника АВС взяты соответственно точки К и L, а на сторонах А₁С₁ и В₁С₁ треугольника А₁В₁С₁ — точки К₁ и L₁ так, что АК = А₁К₁, LC = L₁C₁. Докажите, что: a) KL = K₁L₁; б) AL = A₁L₁.

178.* Даны три точки А, В, С, лежащие на одной прямой, и точка D, не лежащая на этой прямой. Докажите, что по крайней мере два из трёх отрезков AD, BD и CD не равны друг другу.

179.* На боковых сторонах АВ и АС равнобедренного треугольника АВС отмечены точки Р и Q так, что ∠PXB = ∠QXC, где X — середина основания ВС. Докажите, что BQ = CP.

180. Постройте окружность данного радиуса, проходящую через данную точку, с центром на данной прямой.

181. Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки.

182. Даны прямая а, точки А, В и отрезок PQ. Постройте треугольник АВС так, чтобы вершина С лежала на прямой а и AC = PQ.

183. Даны окружность, точки А, В и отрезок PQ. Постройте треугольник АВС так, чтобы вершина С лежала на данной окружности и AC = PQ.

184. На стороне ВС треугольника АВС постройте точку, равноудалённую от вершин А и С.

185. С помощью циркуля и линейки разделите данный отрезок на четыре равные части.

Ответы к дополнительным задачам к главе II

156. АВ = 4 см, АС = 5 см, ВС = 6 см.

157. 7 см, 5 см и 5 см.

158. 10 см или 6 см.

160. б) Указание. Пусть М — точка, равноудалённая от точек А и В и не лежащая на прямой АВ. Воспользоваться утверждением: медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой.

165. б) Указание. Сначала доказать, что ∠AOK = ∠BOK₁.

166. Указание. Воспользоваться задачей 165.

167. Указание. Сначала доказать равенство треугольников DBF, FCE и EAD.

168. 40°.

169. Указание. Доказать, что ΔАВО = ΔFEO.

170. Указание. Сначала доказатьравенство треугольников ABD и A₁B₁D₁.

171. Указание. Сначала доказать равенство треугольников АВС и ADC.

172. Указание. Сначала доказать равенство треугольников АВС и ABD.

173. Указание. Пусть угол BAD — смежный с углом А треугольника АВС. Для доказательства неравенства ∠BAD > ∠B отметить середину О стороны АВ и на продолжении отрезка СО отложить отрезок ОЕ, равный СО. Затем доказать, что угол ВАЕ равен углу В треугольника АВС и воспользоваться неравенством ∠BAD > ∠BAE.

174. Указание. Наложить треугольник АВС на треугольник A₁B₁C₁, так, чтобы сторона ВС совместилась со стороной В₁С₁, а сторона В А наложилась на луч ВА₁. Для доказательства того, что точка А совместится с точкой А₁, воспользоваться задачей 173.

175. Указание. Сначала доказать, что ΔAOD = ΔВОС, а затем, что ΔEBD = ΔЕАС.

176. Указание. Рассмотреть треугольники ABD и A₁B₁D₁, где точки D и D₁ такие, что М и М₁— середины отрезков AD и A₁D₁.

178. Указание. Пусть точка В лежит на отрезке АС. Предположить, что AD = BD = CD. Используя свойство углов при основании равнобедренного треугольника, сначала доказать, что ∠ABD = ∠CBD= 90°.

179. Указание. Сначала доказать, что BP = CQ.

184. Указание. Воспользоваться задачей 160.