В § 26 мы вывели формулу для объёма прямого цилиндра. Она верна и для наклонного цилиндра.
А именно имеет место следующая теорема:
Теорема 30. Объём цилиндра, в частности призмы, равен произведению площади основания и высоты:
V = SH.
Доказательство. Все сечения цилиндра плоскостями, параллельными плоскости его основания, равны (п. 18.1). Поэтому все их площади S (х) равны площади S основания цилиндра. Следовательно, уравнение (1) , выведенное в теореме 29 об объёме тела, для цилиндра имеет вид F'(x) = S. Функция V (х), производная которой постоянна и равна S, является линейной функцией и имеет вид: V(x) = Sx + b.
Воспользуемся тем, что V(0) = 0. Получим 0 = S • 0 + b, т. е. b = 0.
Итак, V (x) = Sx, а объём цилиндра
V = V(H) = SH.
27.2 Объём конуса
Теорема 31, Объём конуса, в частности пирамиды, равен одной трети произведения площади основания и высоты:
V = 1/3 SH.
Доказательство. Сечение конуса плоскостью, параллельной основанию, подобно основанию (п. 19.1). Если плоскость проходит на расстоянии х от вершины, то коэффициент подобия равен (рис. 244).
Рис. 244
Поэтому площадь сечения S (x) такой плоскостью равна
где S — площадь основания конуса. Его можно записать так:
Так как S и Н — постоянные для данного конуса, то уравнение, выведенное в теореме 29 для объёма конуса, имеет вид:
Функция V (х), производная которой равна ах2, имеет вид:
Воспользуемся тем, что F(0) = 0. Получим
Поэтому
а объём конуса
27.3 Объём шара
Теорема 32. Объём шара радиуса R выражается формулой
V = 4/3 πR3.
Доказательство. Для вывода формулы удобно взять полушар — часть шара, ограниченную плоскостью α, проходящей через центр шара.
Плоскость γ, параллельная плоскости α и проходящая от неё на расстоянии х, пересекает шар по кругу радиуса (рис. 245).
Рис. 245
Площадь S (х) этого круга равна π(R2 - х2). Объём части полушара между плоскостями α и γ обозначим через U (x). Для полушара расстояние Н, между опорными плоскостями, о котором говорится в теореме 29, равно R. Согласно этой теореме, U'(х) = π(R2 - х2). Функция U (х), которая удовлетворяет этому уравнению, имеет вид:
Как и в предыдущих двух случаях, взяв х = 0, получаем, что b = 0. Поэтому объём полушара
Поскольку объём V шара в два раза больше объёма полушара, то
27.4 Изменение объёма при подобии
Формулы для объёмов, выведенные в этом параграфе, показывают, что при подобных преобразованиях объёмы тел умножаются на куб коэффициента подобия.
Действительно, при подобных преобразованиях линейные размеры фигур умножаются на коэффициент подобия, а площади фигур умножаются на квадрат коэффициента подобия. Поэтому их произведения, которые присутствуют в формулах объёмов цилиндров и конусов, умножатся на куб коэффициента подобия. Объём же шара изменяется так же, как куб его радиуса, т. е. умножается на куб коэффициента подобия.
Вопросы для самоконтроля
По какой формуле вычисляется объём:
а) любого цилиндра;
б) наклонной призмы;
в) конуса;
г) пирамиды;
д) шара?
Почему при выводе формул объёма любого цилиндра, конуса, шара возможно применять первообразную?
Откуда следует, что объём шара в два раза больше объёма полушара?
[an error occurred while processing this directive]
[an error occurred while processing this directive]
[an error occurred while processing this directive]
(рис. 244).
(рис. 245).
