Учебник для 10-11 классов

ГЕОМЕТРИЯ

Заключение. Современная геометрия

I. Коренное отличие современной геометрии

До середины XIX в. геометрия изучала фигуры одного-единственного пространства. Элементы её вы изучили в школьном курсе. Теперь же геометрия охватывает «геометрии» бесконечного множества разных воображаемых пространств, она изучает свойства самих пространств и фигур в них. В отличие от всех прочих пространств то пространство, геометрию которого мы изучали, называют трёхмерным евклидовым пространством. Наряду с ним мыслятся теперь и изучаются пространства любого числа измерений — евклидовы и неевклидовы. Что же представляют собой эти пространства, как их определяют, каков их реальный смысл?

Трёхмерное евклидово пространство можно определить как такое множество, элементы которого называются точками и в котором выполняются пять аксиом, сформулированных в § 1.

Точно так же можно определить любое другое пространство: это множество каких-то элементов— «точек», удовлетворяющее соответствующим аксиомам. Какие берутся аксиомы, такое и определяется пространство.

Например, метрическим пространством называется множество, в котором каждой паре элементов (точек) X, Y отнесено число — расстояние |ХY| с известными условиями:

|ХY| = 0 тогда и только тогда, когда X = Y;
|ХY| = |YХ|;
|XY| + |YZ| > |XZ|.

Это аксиомы метрического пространства.

Примером метрического пространства является множество непрерывных функций, заданных на отрезке [0, 1], если расстояние между двумя функциями f, g определить равенством

Итак, пространство в современной математике определяется как множество каких-либо элементов— «точек», наделённое теми или иными свойствами, по которым оно более или менее сходно с обычным пространством. Свойства его задаются теми или иными аксиомами.

Это общее понятие пространства сложилось в начале XX в. в итоге развития геометрии и математики в целом. Рассмотрим простейшие примеры пространств с их геометриями, их реальный смысл и значение.

II. Геометрия на поверхности

Планиметрия — это геометрия на плоскости, и, занимаясь ею, рассматривают плоскость саму по себе, отвлекаясь от окружающего пространства. Точно так же можно изучать геометрию на любой поверхности.

Представим себе какую-либо поверхность. Будем измерять расстояние между её точками по самой поверхности — по кратчайшей линии от одной точки до другой (рис. 279, а). Такие линии играют на поверхности роль прямолинейных отрезков, их называют кратчайшими. Теперь можно, например, определить треугольник на поверхности как фигуру из трёх кратчайших АB, BС, СА (не имеющих других общих точек, кроме концов) или как часть поверхности, ограниченную такими кратчайшими (рис. 279, б). Далее можно определить окружность на поверхности с центром О и радиусом r как множество точек на поверхности, удалённых от О на расстояние r (рис. 279, в). Затем можно определить углы между кривыми на поверхности и т. д.

Рис. 279

В общем, возникает возможность развивать геометрию на данной поверхности. Эта геометрия на поверхности называется её внутренней геометрией. Поверхность в смысле её внутренней геометрии представляет собой метрическое пространство.

Самый простой и самый важный пример геометрии на поверхности, не считая плоскости, представляет геометрия на сфере. Поверхность Земли является в довольно хорошем приближении сферой, поэтому здесь речь идёт практически о геометрии на Земле, рассматриваемой в больших масштабах. Над Землёй простирается «небесная сфера», та воображаемая сфера, на которой нам представляются движения небесных светил. Следовательно, их взаимное расположение подчиняется геометрии на сфере, или, как её ещё называют, сферической геометрии. Она составляет геометрическую основу наблюдательной астрономии. Именно поэтому начала сферической геометрии были разработаны ещё греческими геометрами.

На сфере кратчайшими линиями являются дуги больших окружностей (рис. 280). В частности, дуга большой окружности короче дуги параллели (отличной от экватора). Поэтому при дальних полётах и дальних плаваниях, если возможно, летят или плывут не по параллели, а по дуге большой окружности. Например, кратчайший полёт из Москвы в Хабаровск проходит над севером Сибири.

Рис. 280

Между геометрией на сфере и геометрией на плоскости много общего. На сфере также выполняются теоремы о равенстве треугольников, о равнобедренном треугольнике и т. д. Главное, что на сфере возможно свободное движение фигур в такой же степени, как на плоскости. С другой стороны, соотношения между сторонами и углами треугольников на сфере другие, чем на плоскости. Так, сумма углов α, β, γ сферического треугольника больше π, а именно

где S — площадь треугольника, a R — радиус сферы.

Сфера геометрически однородна: геометрия её в одной её части такая же, как в любой другой. Но другие поверхности, вообще говоря, геометрически неоднородны, и их внутренняя геометрия может быть очень разнообразной.

Основы внутренней геометрии поверхностей были созданы великим немецким математиком Карлом Гауссом (1777—1855). Более общий подход и более общая теория были разработаны советскими геометрами в середине XX в.

III. Возможная геометрия реального пространства

Внутреннюю геометрию поверхности можно понимать как такую, которую развивали бы люди, живущие в самой этой поверхности.

В самом деле, представим себе какую-нибудь поверхность и живущих в ней разумных существ, не имеющих никакого понятия об окружающем пространстве. Они могли бы измерять расстояния на поверхности (рис. 281), проводить кратчайшие и делать другие построения и измерения. В общем, они создали бы свою геометрию, отражающую свойства поверхности, в которой они живут. Это и была бы внутренняя геометрия данной поверхности. Вместе с тем это была бы геометрия того «пространства», в котором они живут, потому что вне его для них ничего нет.

Рис. 281

Мы живём в своём трёхмерном пространстве, измеряем в нём длины, находим геометрические соотношения, делаем построения. Всё это на самом деле, в нашей материальной деятельности. В ней люди обнаружили общие закономерности, выраженные потом в отвлечённой идеализированной форме в евклидовой геометрии. Но почему мы должны быть убеждены, что она абсолютно точно соответствует действительности? Например, а вдруг теорема Пифагора выполняется только приближённо или длина окружности не в точности пропорциональна радиусу? И если в пределах обычного земного опыта эти отличия ничтожны, то почему бы они не могли обнаружиться в звёздных масштабах?

Таких вопросов не задавал никто, они могли казаться нелепыми и невозможными, пока их не задали себе в начале XIX в. независимо друг от друга два великих математика К. Гаусс и Н. И. Лобачевский. Попытки обнаружить отклонения от евклидовой геометрии не дали тогда никакого результата. Но сто лет спустя их догадки оправдались: теперь точно установлено, что в космических масштабах геометрия реального пространства несколько отлична от евклидовой.

IV. Геометрия Лобачевского

Среди аксиом Евклида была аксиома о параллельных. От других аксиом она отличалась своей сложностью: в принятой теперь формулировке она говорит о всей бесконечной прямой, не пересекающей данную, а в формулировке самого Евклида была гораздо сложнее остальных. Поэтому возникли попытки вывести её из остальных предпосылок геометрии. Этим занимались на протяжении более 2000 лет многие математики, но всё напрасно. Некоторым казалось, что они достигли цели, но потом выяснялось, что они лишь заменяли аксиому Евклида другой равносильной аксиомой. Пытались доказать аксиому параллельных методом от противного: прийти к противоречию, предполагая противоположное ей утверждение. Но противоречие не получалось.

Наконец в начале XIX в. одновременно у нескольких математиков возникла мысль, что противоречия и не может получиться, что мыслима геометрия, в которой выполняется аксиома: на плоскости через данную точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие данную.

Первым выступил с этой идеей Н. И. Лобачевский (1792—1856). В 1826 г. он сделал об этом доклад в Казанском университете (где он учился и работал всю жизнь). В 1829—1830 гг. вышла его первая обширная работа, посвящённая новой геометрии.

В 1832 г. была опубликована работа венгерского математика Яноша Бойаи (1802—1860) с теми же, в общем, результатами.

К. Гаусс, придя одновременно к тем же выводам, не решился их опубликовать, опасаясь, как он сам объяснял, быть непонятым и подвергнуться нападкам. Опасения были справедливыми. Лобачевский и Бойаи остались непонятыми почти всеми математиками того времени. Лобачевский подвергался насмешкам, однако он имел силу убеждения и мужество развивать новую геометрию и публиковать всё более развёрнутые её изложения. Когда же после его смерти она была наконец понята, её во всём мире стали называть геометрией Лобачевского, а самого Лобачевского даже сравнивали с Коперником, и справедливо, потому что Николай Иванович Лобачевский произвёл в геометрии величайший переворот. До него веками без тени сомнения считалось, что мыслима только одна геометрия — та, основы которой изложены у Евклида. А Лобачевский опрокинул это всеобщее убеждение: наряду с евклидовой геометрией он построил другую — неевклидову.

Во второй половине XIX в. были найдены простые модели геометрии Лобачевского на плоскости и в пространстве. Выяснилось, что ничего невообразимого и невозможного в ней нет; нужно только правильно её понять. Тогда же она была включена в более общую геометрическую теорию, созданную немецким математиком Бернхардом Риманом (1826—1866).

V. Многомерное пространство

Идея пространства с числом измерения больше трёх зародилась ещё до XIX в., но основы геометрии таких пространств были созданы к середине XIX в.

В прямоугольных координатах в обычном пространстве точка задаётся тремя координатами. Представим себе точки, задаваемые каждая п координатами (x₁, х₂, ..., х_n). Между ними можно определить расстояние так же, как в обычном пространстве:

Так получается «n-мерное евклидово пространство». Его геометрия аналогична обычной стереометрии — геометрии трёхмерного евклидова пространства. Можно определять расстояния иначе, и тогда будут получаться другие n-мерные пространства.

VI. Другие геометрии

В геометрии определились и другие её части, основанные на особых свойствах фигур. Например, при параллельном проектировании с одной плоскости на другую длины, вообще говоря, изменяются, но параллельные прямые переходят в параллельные, отношения параллельных отрезков сохраняются, а вместе с ними сохраняются все зависящие от них свойства фигур. Учение об этих свойствах выделяется в особую область, называемую аффинной геометрией.

При центральном проектировании (проектировании из точки) параллельность не сохраняется, но прямые переходят в прямые и сохраняются связанные с этим свойства фигур. Такие свойства называют проективными. Учение о них образует проективную геометрию. Она лежит в основе изображения фигур в перспективе.

До этого шла речь о параллельном и центральном проектировании с плоскости на плоскость и соответственно об аффинной и проективной геометрии плоскости. Но можно их обобщить на пространство, и притом любого числа измерений. К аффинной геометрии относятся те свойства фигур, которые сохраняются при преобразованиях, переводящих прямые в прямые и, в частности, параллельные в параллельные. К проективной геометрии относятся свойства, сохраняющиеся при преобразованиях, переводящих прямые в прямые без условия сохранения параллельности.

VII. Основания геометрии

Если какое-либо пространство определяется аксиомами, то обязательно возникает вопрос: возможно ли такое пространство, нет ли в принятых аксиомах противоречий?

В отношении евклидова пространства такой вопрос не возникал, потому что оно представлялось уже данным и дело шло о его изучении. Но когда Лобачевский заменил аксиому параллельных на противоположную, вопрос возник со всей остротой: а нет ли тут противоречия, возможна ли, в самом деле, неевклидова геометрия? Вопрос был решён положительно предъявлением соответствующей модели; первую дали поверхности, внутренняя геометрия которых совпадает с геометрией Лобачевского (в области).

Итак, первое, обязательное условие для любой системы аксиом — это непротиворечивость. Она доказывается предъявлением модели, в которой реализуются данные аксиомы.

Второе условие — полнота — состоит в том, чтобы аксиомы действительно давали основание, соответствующее теории, т. е. чтобы все свойства того пространства или тех пространств, которые рассматриваются в теории, вытекали из аксиом, а не домысливались.

У Евклида и всех геометров до конца прошлого века многое подразумевалось как само собой понятное, например свойства расположения точек на прямой и плоскости, что точка разбивает прямую на два луча, что из трёх точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими, что прямая разбивает плоскость. Тогда не возникало мысли выразить это явно в аксиомах. Это стали делать лишь к концу XIX в., и в 1899 г. немецкий математик Давид Гильберт (1862—1943) дал полную с современной точки зрения систему аксиом евклидовой геометрии.

У него уже ничего не подразумевается, кроме основных логических понятий. Его «Основания геометрии» начинаются словами: «Мы мыслим три вида вещей, которые называются точками, прямыми, плоскостями». Тут ничего не подразумевается, кроме самого общего понятия «вещь», как то, что обозначается в языке именем существительным. Дальше называются основные отношения, такие, как «точка лежит на прямой» и др., и опять ничего не подразумевается, кроме общего понятия отношения. Свойства отношений явно формулируются в аксиомах, и наглядный их смысл совершенно не подразумевается.

Система аксиом Гильберта была потом ещё усовершенствована, и были даны другие системы аксиом в том же строгом духе.

Третий вопрос — о независимости аксиом: нет ли среди них лишних, которые можно было бы вывести из других? Это требование у Гильберта сначала ещё не было полностью выполнено, его систему довели до совершенства позже.

Теперь имеется непротиворечивая полная система независимых аксиом евклидовой геометрии, в которой подразумеваются только основные логические понятия.

В современной геометрии та или иная система аксиом определяет, как правило, не одно-един-ственное пространство, а класс пространств, например метрические пространства. Здесь полноты системы аксиом заведомо нет, к ней можно добавлять новые аксиомы, выделяя другие классы пространств. Так, из всех метрических пространств можно выделить евклидовы, а из них — трёхмерное евклидово пространство.

VIII. Геометрия и действительность

Отношение геометрии к опыту, к данной в нём реальной действительности сложно.

Геометрия возникла как практическая опытная наука о пространственных формах и отношениях реальных тел. Она явилась, можно сказать, первой главой физики; за ней следовала как вторая глава — механика — наука о движении тел; геометрия изучает взаимное расположение тел, механика — их изменение.

Однако геометрия постепенно отделилась от опыта, её предмет составили уже не реальные, а идеальные фигуры. Обращение к опыту, даже к чертежу, было исключено из её аргументов; доказательство теоремы даётся только путём рас-суждений. Это понятно: с идеальными фигурами нельзя ставить опыты, их нельзя ни сделать, ни нарисовать, их можно только мыслить.

Евклидова геометрия сложилась, таким образом, как наука об идеальных фигурах. Вместе с тем казалось, что она абсолютно точно соответствует свойствам реального пространства — реальным пространственным отношениям. Однако это убеждение было подвергнуто сомнению Лобачевским и Гауссом и опровергнуто современной физикой — её выводами из теории относительности Эйнштейна. Евклидова геометрия, возникнув из опыта и отделившись от него в своей идеальной точности, пришла с ним хотя бы в некоторое несоответствие. Но это ничуть не затронуло её как часть чистой математики, потому что в этом смысле она представляет собой систему логических выводов из аксиом независимо от их возможного отношения к действительности.

Произошло раздвоение единой геометрии на чисто математическую геометрию с её единственным условием логической точности и на геометрию как физическую теорию, как учение о свойствах реального пространства, сверяемое с опытом, что присуще всякой физической теории. Эту геометрию реального пространства в космических масштабах использует космология, основанная на теории относительности и известных данных о строении Вселенной.

Во всём этом есть как бы противоречие: идеально точная евклидова геометрия оказалась неточной. Возникнув ещё в древности как опытная наука, она превратилась в собственную противоположность — в науку, которая не заботится о соответствии с опытом. Такие реальные противоречия, такое раздвоение единого охватываются общим понятием диалектики.

Так, в истории науки единая геометрия раздвоилась на противоречивые части, разошедшиеся в чистую математику и физику.

Сочетание двух взаимно противоположных сторон геометрии проходило через весь наш курс с самого начала. Мы постоянно ссылались на опыт и вместе с тем старались вести строго логические выводы из аксиом без ссылок на опыт, чертежи и пр.

Самый яркий пример применения отвлечённой геометрии — это общая теория относительности, математическим аппаратом которой послужила общая теория пространств. Начала этой теории за шестьдесят с лишним лет до создания общей теории относительности были заложены Риманом. Выросшая на почве математических абстракций, теория вернулась к исходной геометрической действительности как орудие её более глубокого познания.