Геометрия
10-11 классы

       

Задачи § 30

Задачи к пп. 30.1, 30.2

  • 30.1. Могут ли равные векторы лежать на разных рёбрах правильного тетраэдра?
  • 30.2. Нарисуйте параллелепипед ABCDA1B1C1D1.
    1. Укажите вектор, равный:
      • а) ;
      • б) ;
      • в) ;
      • г) .

    1. Отложите вектор, равный , от точки:
      • а) В1;
      • б) А.
    2. Равны ли векторы:
      • а) и ;
      • б) и ?
  • 30.3. Какую фигуру образуют концы равных векторов, отложенные от всех точек отрезка? А если вместо отрезка взять плоскую фигуру, что получится?

Задачи к п. 30.3

  • 30.4. Докажите неравенство | + | ≤ || + ||. Обобщите его. Дайте геометрическое истолкование этого обобщения для случая трёх векторов, не лежащих в одной плоскости.
  • 30.5. Нарисуйте параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Нарисуйте вектор , равный:
    • а) ;
    • б) ;
    • в) ;
    • г) ;
    • д) ;
    • е) ;
    • ж) ;
    • з) ;
    • и)
    • к) .
  • 30.6. Решите задачу 30.5 (а—г), заменив сумму на разность.
  • 30.7. Пусть А и В — любые две точки. Докажите, что при любом выборе точек О1 и O2 верно равенство
  • 30.8. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Укажите такую точку X, что верно равенство Единственна ли такая точка? Решите аналогичную задачу для тетраэдра. Как обобщить полученные результаты?

Задачи к пп. 30.4, 30.5

  • 30.9. Нарисуйте параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Нарисуйте вектор , равный:
    • а) ;
    • б) ;
    • в) ;
    • г) ;
    • д) ;
    • е) ;
    • ж) ;
    • з) ;
    • и) .
  • 30.10.
    • а) Точка К — середина отрезка АВ. Докажите, что при любом выборе точки О вектор .
    • б) Точка Г — точка пересечения медиан треугольника ABC. Докажите, что при любом выборе точки О вектор .
  • 30.11. Пусть точки К и L не лежат в плоскости ABC. Докажите, что параллельность прямой KL и плоскости ABC равносильна выполнению равенства
  • 30.12. Используя векторные соотношения, запишите равенства, равносильные таким фактам:
    • а) точка X лежит на прямой АB;
    • б) точка X лежит на отрезке АB;
    • в) точка X принадлежит плоскости АBС.

Задачи к п. 30.6

  • 30.13. ABCD и AB1CD1 — два параллелограмма. Докажите, что ВВ1||DD1.
  • 30.14. Дан тетраэдр РАВС. Пусть точки К, L, М и N таковы, что

  • Каково взаимное расположение прямых КМ и NL?
  • 30.15 Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что на диагонали B1D лежат середины других диагоналей параллелепипеда и точки пересечения медиан треугольников А1С1В и D1AC.
  • 30.16. Из вершин А и D правильного тетраэдра ABCD одновременно и с одной скоростью стали двигаться по рёбрам АС и DB точки X и Y. Докажите, что прямая ХY всё время параллельна одной и той же плоскости.

 

Top.Mail.Ru
Рейтинг@Mail.ru