29.1. Нарисуйте систему координат. Какие координаты равны нулю у точки, лежащей:
а) в плоскости ху;
б) в плоскости yz;
в) на оси х;
г) на оси у?
29.2. Нарисуйте систему координат и точки A(1, 1, 0), B(1, 1, 3), C(1, 1, —2).
а) Каковы координаты проекций точки B на оси координат? Нарисуйте проекции точки B на плоскости координат. Каковы координаты этих проекций? Чему равны расстояния от В до плоскостей, осей и начала координат? Какие углы образует прямая OB с плоскостями и с осями координат?
б) Выполните те же задания для тонки С.
в) Какие координаты имеет точка прямой АВ, удалённая от плоскости ху на 5?
г) Какие координаты имеет точка прямой АВ, удалённая от точки О на 5?
д) Найдите расстояния от (АВ) до плоскостей xz и yz.
29.3. Нарисуйте систему координат и точку А (0, -1, 1). Составьте задачи, аналогичные задаче 29.2, для этой точки. Попытайтесь составить и решить аналогичные задачи в общем виде. Например, задайте точки А(а, b, 0), В (а, Ь, с), С (а, Ь, с) и ответьте на те же вопросы, что заданы в задаче 29.2.
29.4. Точки А (1, 0, 0) и В (-1, 0, 0) являются вершинами правильного тетраэдра, основание которого лежит в плоскости ху. Вычислите координаты двух других его вершин.
29.5. Укажите положение точки в системе координат, если у неё:
а) х = 0;
б) х = у = 0;
в) у = 0, х ≠ 0, z ≠ 0;
г) y = z = 0, х ≠ 0.
Задачи к п. 29.3
29.6. Даны точки А (5, -1, 3), В (1, 2, -6), С (-3, 3, 2). Какая из них ближе к началу координат; к плоскости yz; к оси х; к другим координатным плоскостям и осям?
29.7. Вычислите расстояние АВ, если:
а) А (0, 0, 1), В ( 1, 1, 0);
б) А (-2, 3, -4), В (2,-3, 4);
в) А (а, b, с), В (b, с, а).
29.8. Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 2. Пусть точка К — середина AD, точка L — середина C1D1, точка М — центр грани ABB1A1. Пусть система координат имеет начало в точке В, а оси координат направлены по лучам ВА, ВС, BB1. Используя метод координат:
а) вычислите расстояния KL, LM;
б) докажите, что центр куба равноудалён от всех вершин; от всех рёбер; от центров треугольников, образованных диагоналями граней.
Задачи к п. 29.4
29.9.
а) В системе координат нарисуйте плоскость, перпендикулярную оси х и проходящую через точку (1, 0, 0). Возьмите любую точку плоскости и объясните, почему её координата по оси х равна 1.
б) Нарисуйте точку A (-2, 3, -1) и плоскость, проходящую через А и перпендикулярную оси х. Каким характерным свойством обладают все точки этой плоскости?
29.10. Напишите уравнения плоскостей, перпендикулярных осям координат и проходящих через точки:
а) (0, 1, 0);
б) (1, 1, 0);
в) (1, 1, 1).
29.11. Напишите уравнение плоскости:
а) удалённой на 2 от плоскости ху;
б) удалённой на 1 от плоскости х = 3;
в) равноудалённой от двух данных плоскостей у = 1 и у = -3.
29.12. Объясните, почему совместное выполнение двух условий х = а и у = Ь задаёт в пространственной системе координат прямую. Как она расположена относительно плоскостей и осей координат?
29.13. Какая фигура определяется уравнением: x2 + y2 + z2 = 9 и условием:
29.14. Напишите уравнение сферы:
а) с центром в начале координат и радиусом 1;
б) с центром в точке (-1, -1, 1) и радиусом 1;
в) с центром в точке [а, -а, а) и радиусом а;
г) проходящей через точки (1, 1, 1), (1, —1, —1), (-1, -1, 1) и (1, -1, 1);
д) касающейся плоскости yz в точке (0, 1, 2) радиуса 3;
е) касающейся всех координатных плоскостей.
Задачи к п. 29.5
29.15. Пусть А и В — две точки пространства. Методом координат докажите, что все точки пространства, равноудалённые от А и В, образуют плоскость.
29.16. Докажите теорему о сечении сферы плоскостью (см. п. 16.2), выбрав начало координат в центре сферы, а одну из осей координат направив перпендикулярно плоскости.
29.17. Покажите методом координат, какой фигурой может быть пересечение двух сфер.
29.18. Пусть α — координатная плоскость хОу, а β — координатная плоскость xOz. Какую фигуру в пространстве образуют все такие точки К, что: