Геометрия
10-11 классы

       

§ 2. Способы задания прямых и плоскостей в пространстве

Здесь из принятых нами аксиом стереометрии мы получим важные теоремы и следствия о прямых и плоскостях. Сами по себе они достаточно очевидны. Рассмотрим их доказательства, которые показывают, как какое-либо утверждение можно строго вывести из аксиом со всеми необходимыми ссылками.

2.1 Задание прямой двумя точками

Теорема 1. Через любые две точки пространства проходит прямая, и притом только одна.

Доказательство. В п. 1.1 уже доказано, что через каждые две точки А, В проходит прямая а.

Докажем, что эта прямая только одна. Прямая а лежит в некоторой плоскости а. Допустим, что, кроме прямой а, через точки А, В проходит ещё прямая b (рис. 31). По аксиоме 3 прямая, имеющая с плоскостью две общие точки, лежит в этой плоскости. Так как прямая b имеет с а общие точки А и B, то b лежит в плоскости α.

Рис. 31

Но в плоскости а выполняется планиметрия, и, следовательно, через две точки А и B проходит только одна прямая. Значит, прямые а и b совпадают. Таким образом, через точки А и В проходит только одна прямая.

Следствие. В пространстве (как и на плоскости) две различные прямые не могут иметь более одной общей точки.

Две прямые, имеющие единственную общую точку, называются пересекающимися.

Замечание. Не всегда предложение, справедливое в планиметрии, верно и в стереометрии. Так, например, в плоскости через две данные точки N, S проходит лишь одна окружность с диаметром NS, а в пространстве таких окружностей бесконечное множество — в каждой плоскости, проходящей через точки N, S, лежит такая окружность (рис. 32, а).

Рис. 32

Но прямая, проходящая через точки N, S в пространстве, лишь одна. Эта общая прямая всех плоскостей, проходящих через точки N, S (рис. 32, б).

Доказав, что в пространстве через каждые две точки проходит единственная прямая, мы можем задавать прямую в пространстве любой парой её точек, не заботясь о том, в какой плоскости эта прямая лежит. Прямая, проходящая через точки А, B, обозначается (АВ).

Аналогичное верно и для отрезков: каждые две точки в пространстве служат концами единственного отрезка.

2.2 Задание плоскости тремя точками

Теорема 2. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Доказательство. Пусть точки А, B, С не лежат на одной прямой. По аксиоме плоскости через эти точки проходит некоторая плоскость а (см. рис. 6). Докажем, что она только одна.

Допустим, что через точки А, B, С проходит ещё одна плоскость (3, отличная от а. Плоскости а и р имеют общие точки (например, точку А). По аксиоме 2 пересечением плоскостей α и β является их общая прямая. На этой прямой лежат все общие точки плоскостей α и β, а значит, точки A, B, С. Но это противоречит условию теоремы, так как согласно ему A, B, С не лежат на одной прямой. Итак, через точки А, В, С проходит лишь одна плоскость α.

Плоскость, проходящую через три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, обозначают (ABC).

Легко проиллюстрировать теорему 2. Например, положение двери фиксируется двумя дверными петлями и замком.

2.3 Задание плоскости прямой и точкой и двумя прямыми

Теорема 3. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Доказательство. Пусть даны прямая а и не лежащая на ней точка А. Возьмём на прямой а две точки B и С (рис. 33). Точка А не лежит с ними на одной прямой, так как через точки B и С проходит лишь одна прямая — это прямая а, а точка А не лежит на ней по условию теоремы.

Рис. 33

Через точки А, B, С, не лежащие на одной прямой, проходит (по теореме 2) единственная плоскость АBС. Прямая а имеет с ней две общие точки B и С и, значит, по аксиоме 3 лежит в ней. Таким образом, плоскость АBС и есть плоскость, проходящая через прямую а и точку А.

Единственность такой плоскости докажем способом от противного.

Пусть есть ещё одна плоскость β, содержащая прямую а и точку А. Тогда она содержит точки B и С. По теореме 2 она должна совпадать с плоскостью АBС. Полученное противоречие и доказывает единственность.

Вот иллюстрация этой теоремы: поворачивая переплёт книги, вы в каждый момент пальцами фиксируете его положение.

Теорема 4. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Доказательство. Пусть прямые а и b пересекаются в точке А. Возьмём на прямой b другую точку B (рис. 34). По теореме 3 через прямую а и точку В проходит плоскость а. Согласно аксиоме 3 прямая Ь лежит в этой плоскости, так как имеет с ней две общие точки А и В. Значит, плоскость а проходит через прямые а и b. Единственность такой плоскости докажите самостоятельно способом от противного.

Рис. 34

Теперь мы знаем три способа задания плоскости:

  1. тремя точками, не лежащими на одной прямой;
  2. прямой и не лежащей на ней точкой;
  3. двумя пересекающимися прямыми.

Вопросы для самоконтроля

  1. Какие вы знаете способы задания прямой в пространстве?
  2. Какие вы знаете способы задания плоскости?

 

Top.Mail.Ru
Рейтинг@Mail.ru