а) площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания и высоты;
б) площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра её перпендикулярного сечения и бокового ребра;
в) площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания и апофемы.
28.2. Докажите, что около сферы можно описать:
а) куб;
б) правильную n-угольную пирамиду.
28.3. Докажите, что сферу можно вписать в:
а) куб;
б) правильную n-угольную пирамиду;
в) конус.
28.4.
а) Куб с ребром 1 разрезали на 1000 кубиков, равных между собой. Во сколько раз общая площадь поверхности полученных кубиков больше площади поверхности данного куба?
б) На сколько равных между собой кубиков надо разрезать данный куб, чтобы общая площадь поверхности кубиков была в 103 раз больше, чем поверхность данного куба?
28.5.
а) Площадь поверхности одного куба больше площади поверхности другого куба. Докажите, что объём первого куба тоже больше,
б) Докажите утверждение, обратное а),
в) Установите связь между площадью поверхности куба и его объёмом, получив какую-либо формулу,
г) Верны ли результаты задач а) и б) для прямоугольного параллелепипеда?
28.6. Через диагональ основания куба проводят сечение. В каком отношении разделилась этим сечением площадь поверхности куба, если оно:
а) составляет с плоскостью основания угол 30°;
б) проведено под углом 60° к основанию;
в) параллельно диагонали куба;
г) перпендикулярно диагонали куба?
28.7. В правильной четырёхугольной призме диагональ равна 1. При каком угле между диагональю и плоскостью основания призма имеет наибольшую площадь боковой поверхности?
28.8.
а) Площадь поверхности правильной четырёхугольной призмы равна 6. В каких границах находится её объём?
б) Объём правильной четырёхугольной призмы равен 1. В каких границах находится площадь её поверхности?
28.9. Деревянный брус имел вид прямой треугольной призмы. Сделали два поперечных и параллельных между собой его распила, и получилась наклонная треугольная призма. Как найти площадь её поверхности, сделав как можно меньше измерений?
28.10. В призме АВСА1В1С1 основание ABC — правильный треугольник со стороной 1, а боковое ребро равно 2. Вычислите площадь её поверхности, если:
а) грань АА1С1С — прямоугольник, плоскость которого составляет с основанием угол 60°;
б) вершина В1 проектируется в центр треугольника ABC.
28.11. Как вычислить площадь боковой поверхности правильной треугольной (четырёхугольной) усечённой пирамиды, у которой известны стороны оснований и:
а) боковое ребро;
6) угол бокового ребра с основанием;
в) угол между боковой гранью и основанием;
г) высота;
д) угол между противоположными боковыми гранями (для четырёхугольной пирамиды)?
28.12. Объём правильной треугольной пирамиды равен 4√3. Какой угол φ составляет боковая грань с основанием, когда площадь боковой поверхности наименьшая?
28.13. Объём правильной четырёхугольной пирамиды равен 4. При каком угле φ между боковой гранью и основанием площадь её боковой поверхности становится наименьшей?
28.14. Какие измерения надо сделать на проекциях многогранника (см. рис. 247), чтобы вычислить площадь его поверхности?
28.15. Вычислите радиус сферы, вписанной в:
а) правильный тетраэдр с ребром 2;
б) правильную четырёхугольную пирамиду с ребром основания 2 и боковым ребром 3.
28.16. Можно ли описать около сферы:
а) куб; б) прямую треугольную призму;
в) наклонный параллелепипед;
г) правильную пирамиду;
д) правильную усечённую пирамиду? Какие для этого должны выполняться условия?
Задачи к п. 28.2
28.17. Из формулы для площади сферы выразите её радиус.
28.18.
а) Выразите объём шара через площадь его поверхности,
б) Запишите обратную зависимость,
в) Пусть объём шара начал расти. Как изменится при этом площадь его поверхности?
г) Решите задачу, обратную данной в п. в),
д) Пусть площадь поверхности шара увеличилась в два раза. Как изменился его объём?
е) Пусть объём шара уменьшился в три раза. Как изменилась площадь его поверхности?
ж) Может ли объём шара численно равняться площади его сферы?
28.19. Окрашены два шара. Радиус одного в два раза больше радиуса другого. Во сколько раз больше ушло на него краски?
28.20. Из шара площадью поверхности 1 см2 сделали какое-то число одинаковых шариков. Может ли суммарная площадь их поверхностей быть больше, чем 1 м2?
28.21. Площадь поверхности шара равна S. Чему равна площадь поверхности полушара?
28.22. Пусть радиус шара равен 1. Чему равна площадь поверхности части шара, которая получилась после проведения в нём:
а) сечения, проходящего через диаметр;
б) двух перпендикулярных сечений, проходящих через один диаметр;
в) трёх попарно перпендикулярных сечений, проходящих через его центр?
28.23. Пусть радиус сферы увеличивается,
а) Докажите, что скорость изменения площади сферы пропорциональна радиусу,
б) Докажите, что скорость изменения объёма шара равна площади его сферы.
Задачи к п. 28.3
28.24. Вычислите площадь поверхности цилиндра, у которого:
а) осевое сечение — квадрат со стороной 2;
б) развёртка боковой поверхности — прямоугольник со сторонами 2 и 3.
28.25.
а) Запишите формулу для площади боковой поверхности цилиндра. Выразите из неё R, Н.
б) Пусть известна площадь боковой поверхности цилиндра. Можно ли найти площадь поверхности цилиндра; его объём?
в) Известна площадь поверхности цилиндра. Можно ли найти его объём?
г) Известен объём цилиндра. Можно ли найти площадь его боковой поверхности; его поверхности?
28.26. Радиус основания цилиндра растёт, а образующая постоянна. Докажите, что:
а) скорость роста площади боковой поверхности постоянна;
б) скорость роста объёма пропорциональна площади боковой поверхности;
в) скорость роста площади поверхности линейно зависит от радиуса.
28.27. Из двух равных цилиндров сделали тело (рис. 253). Как найти площадь поверхности этого тела? Как найти его объём?
Рис. 253
28.28. Объём цилиндра равен 16π.
Каковы размеры его осевого сечения, когда площадь его поверхности наименьшая?
В каких границах находится площадь его поверхности, если радиус основания цилиндра лежит в промежутке:
а) (0; 1);
б) [1; 4];
в) [4; ∞)?
28.29. Площадь поверхности цилиндра равна 54π.
Какова форма его осевого сечения, когда его объём наибольший?
В каких границах находится объём, если радиус основания цилиндра лежит в промежутке:
а) [1; 4];
б) [2; 5];
в) [4; 5]?
28.30. Чему равна площадь поверхности конуса, у которого:
а) осевое сечение — равносторонний треугольник со стороной 2;
б) развёртка боковой поверхности — четверть круга радиуса 1;
в) развёртка боковой поверхности — полукруг радиуса R;
г) образующая равна L и образует с основанием угол φ?
28.31.
а) Запишите формулу для площади боковой поверхности конуса S6. Выразите из неё R, L.
б) Известна площадь боковой поверхности конуса S6. Можно ли найти площадь его поверхности S; его объём V?
в) Известна S. Можно ли найти S6 и V?
г) Известен объём V. Можно ли найти S и S6?
28.32. Определите, каким числом может быть отношение площади основания конуса и площади его боковой поверхности.
28.33. Образующая конуса равна 1. В каких границах находится площадь его:
а) боковой поверхности;
б) поверхности?
28.34. Периметр осевого сечения конуса равен 2. Определите, в каких границах лежит площадь его боковой поверхности.
28.35. Объём конуса равен 36л. Какой угол образует с плоскостью основания образующая его поверхности, когда площадь боковой поверхности наименьшая?
28.36. Найдите площадь поверхности конуса, вписанного в шар радиуса 2, если его основание удалено от центра шара на 1.
28.37. Даны радиусы оснований г и Я усечённого конуса и его образующая L. Найдите площадь его боковой поверхности.
28.38. Прикладная геометрия! Лампа имеет абажур в виде боковой поверхности усечённого конуса. Как узнать, сколько материала пошло на абажур?
28.39. Как вычислить площадь поверхности тела вращения, полученного вращением:
равностороннего треугольника вокруг:
а) высоты;
б) стороны;
в) прямой, проходящей через вершину и параллельной его высоте;
г) прямой, параллельной его стороне;
квадрата вокруг:
а) диагонали;
б) прямой, проходящей через вершину квадрата и параллельной диагонали;
