Учебник для 10-11 классов

ГЕОМЕТРИЯ

§ 28. Площадь поверхности

28.1 О понятии площади поверхности

Площадь поверхности многогранника, естественно, считается равной сумме площадей его граней. Задача состоит в определении площади искривлённой поверхности, например сферы, боковых поверхностей цилиндра и конуса.

Площадь искривлённой поверхности вычисляют так. Разбивают поверхность на такие куски, которые уже достаточно мало отличаются от плоских. Тогда находят площади этих кусков, как если бы они были плоскими (например, заменяя их проекциями на плоскости, от которых поверхность мало отклоняется). Сумма их площадей и даст приближённо площадь искривлённой поверхности.

Так поступают на практике: площадь поверхности купола, например собора, получается как сумма площадей покрывающих его кусков листового металла (рис. 248, а). Ещё лучше это видно на примере земной поверхности. Она искривлена — примерно сферическая. Но участки, небольшие в сравнении с размерами всей Земли, измеряют как плоские.

Рис. 248

Вычисляя площадь выпуклой поверхности, описывают вокруг неё, когда это возможно, близкую к ней многогранную поверхность. Её грани будут приближённо представлять куски поверхности, а её площадь даёт приближённо площадь самой искривлённой поверхности. При этом многогранная поверхность называется описанной вокруг выпуклой поверхности, если её грани лежат в опорных плоскостях к данной выпуклой поверхности и она располагается с той же стороны от каждой такой плоскости, что и данная поверхность.

Аналогично определяется многогранник, описанный вокруг выпуклого тела (рис. 248, б).

В следующих пунктах этого параграфа вычисляются площади простейших поверхностей. При этом вычисление площади сферы основано на следующем интересном предложении.

Замечание. Аналогичным соотношением связаны площадь S (F) многоугольника F, описанного вокруг круга радиуса R, и его периметр Р (рис. 249, а):

S (F) = 1/2 PR.

Рис. 249

Доказательство. Опишем вокруг сферы какой-либо многогранник В. Пусть у него n граней Q₁, ..., Q_n. Разобьём его на пирамиды Т₁, ... Т_n с общей вершиной в центре шара О и с гранями Q₁, ..., Q_n многогранника В в основаниях (рис. 249, б).

Грань Q₁ лежит в опорной плоскости сферы и, значит, перпендикулярна радиусу сферы в точке касания. Стало быть, этот радиус есть высота пирамиды T₁. Значит,

V(T₁) = 1/2 S(Q₁)R,

где S (Q₁) — площадь грани Q₁.

Аналогичные равенства верны для остальных пирамид Т₂, ..., Т_n, Поэтому

28.2 Площадь сферы

Доказательство. Пусть дан шар радиуса R. Возьмём на его сфере п точек, не лежащих в одной полусфере, и проведём через них опорные плоскости к шару. Эти плоскости ограничат многогранник В_n, описанный вокруг шара.

Объём V шара приближённо равен объёму V_n многогранника В_n, а площадь S поверхности шара приближённо равна площади поверхности S_n многогранника В_n. Поэтому

Будем увеличивать число n выбранных точек и брать их всё гуще. Например, возьмём достаточно густую сеть параллелей и меридианов и выберем точки их пересечения. Тогда величина будет сколь угодно мало отличаться от числа .

С другой стороны,

при всех n (по лемме из п. 28.1).

Поэтому два числа и 1/3 R отличаются сколь угодно мало. Это возможно только в случае равенства этих чисел.

Следовательно,

Отсюда

Задачи об измерении шара и площади его поверхности были решены великим Архимедом в его сочинении «О шаре и цилиндре». Архимед для доказательства своих теорем предвосхитил методы интегрального исчисления на 2000 лет.

28.3 Площади поверхностей цилиндра и конуса

Доказательство. Пусть дан цилиндр вращения с высотой Н и радиусом основания R (рис. 250). Опишем вокруг цилиндра правильную n-угольную призму В_n. Её высота равна Н, а основаниями будут правильные n-угольники, описанные вокруг оснований цилиндра. Площади этих n-угольников обозначим через S_n, а периметры — через Р_n.

Рис. 250

Объём V цилиндра приближённо равен объёму V_n призмы В_n, а площадь S_б боковой поверхности цилиндра приближённо равна площади боковой поверхности (S_б)_n призмы В_n. Поэтому

Будем увеличивать число n. Тогда величина

будет сколь угодно мало отличаться от числа

С другой стороны,

Поэтому два числа и 1/2 R отличаются сколь угодно мало.

Это возможно только в случае равенства этих чисел. Следовательно,

Отсюда

Поскольку площадь S всей поверхности цилиндра складывается из площади боковой поверхности и площадей оснований, то

S = 2πRH + 2πR².

Доказательство. Пусть дан конус вращения с образующей поверхности L и радиусом основания R (рис. 251).

Рис. 251

Опишем около конуса правильную п-угольную пирамиду В_n. Её основанием будет правильный n-угольник, описанный около основания конуса. Высоты боковых граней пирамиды равны L (по теореме о трёх перпендикулярах). Поэтому площадь боковой поверхности (S_б)_n пирамиды В_n:

(S_б)_n = 1/2 P_nL, где Р_n — периметр основания пирамиды В_n. Площадь основания В_n обозначим через S_n.

Объём V конуса приближённо равен объёму V_n пирамиды В_n, площадь S_б боковой поверхности конуса приближённо равна площади боковой поверхности (S_б)_n пирамиды В_n. Поэтому

Будем увеличивать число n. Тогда величина

будет сколь угодно мало отличаться от числа

Вычислим её:

Поэтому два числа и отличаются сколь угодно мало. Это возможно только в случае равенства этих чисел. Значит,

Отсюда

Прибавляя к площади боковой поверхности конуса вращения площадь его основания, получаем площадь S всей поверхности конуса вращения:

S = πRL + πR².

Замечание. Наглядно ясно, что если боковую поверхность реального цилиндра вращения (например, консервной банки) разрезать вдоль одной образующей, то затем её можно развернуть в плоский прямоугольник (рис. 252, а).

Рис. 252

Одна сторона полученного прямоугольника равна длине образующей Н, а другая — длине окружности основания цилиндра, т. е. 2πR. Поэтому его площадь, а тем самым и площадь боковой поверхности цилиндра вращения, равна 2πRH. Аналогично развёрткой боковой поверхности конуса вращения является сектор круга радиуса L с дугой длиной 2πR (рис. 252, б). Его площадь равна πRL. Это интуитивно ясное вычисление площадей боковых поверхностей цилиндра и конуса вращения требует достаточно сложных обоснований. Например, почему при таких «развёртываниях» искривлённых поверхностей в плоские фигуры их площадь не меняется? Кроме того, лишь немногие поверхности допускают такую развёртку на плоскость. Вычислить таким способом, например, площадь сферы нельзя.

Вопросы для самоконтроля

1. Как приближённо можно вычислить площадь искривлённой поверхности? Как повысить точность вычисления?
2. Какой формулой связаны радиус шара, площадь поверхности описанного вокруг него многогранника и объём этого многогранника?
3. По какой формуле вычисляют площадь:
   • а) сферы;
   • б) поверхности цилиндра;
   • в) поверхности конуса?