Геометрия
10-11 классы

       

Задачи к § 27

Задачи к п. 27.1

  • 27.1 В треугольной призме АВСА1В1С1 все рёбра основания равны 1, а боковые рёбра равны 2. Вычислите её объём, если вершина А: проектируется в:
    • а) точку С;
    • б) середину ребра ВС;
    • в) центр треугольника ABC.

  • 27.2. В треугольной призме ABСА1B1С1 все рёбра основания равны 2, а боковые рёбра равны 1. Вычислите её объём, если:
    • а) боковое ребро составляет с основанием угол 45°;
    • б) грань BСС1B1 — прямоугольник, плоскость которого наклонена к основанию под углом 30°;
    • в) ∠A1AB = ∠A1AC = 60°;
    • г) две её боковые грани перпендикулярны основанию.
  • 27.3. В параллелепипеде ABСDA1B1С1D1 основанием является квадрат со стороной 1, а боковое ребро равно 2. Вычислите его объём, если вершина В1 проектируется в:
    • а) точку С;
    • б) точку D;
    • в) центр нижнего основания.
  • 27.4. В параллелепипеде ABСDA1B1С1D1 все грани — ромбы с острым углом 60° и стороной 1. Вычислите его объём, если в вершине А сходятся:
    • а) острые углы трёх ромбов;
    • б) острый угол только одного ромба.
  • 27.5. Четыре грани параллелепипеда — квадраты. Сторона квадрата равна 1. Вычислите наибольшее значение его объёма.
  • 27.6. Для наклонной призмы рассмотрим такие величины: V — объём, S1 — площадь перпендикулярного сечения, L — боковое ребро. Докажите, что V = S1L.
  • 27.7. На диагоналях граней AB1, AC1, AD1 параллелепипеда ABСDA1B1С1D1 построен новый параллелепипед. Найдите отношение объёмов нового и старого параллелепипедов.

Задачи к п. 27.2

Объём конуса и усечённого конуса

  • 27.8. Найдите объём усечённого конуса, зная радиусы R и r его оснований (R > r) и высоту Н.

    Решение. На рисунке 246 изображено осевое сечение двух конусов — большего и меньшего, с помощью которых образуется данный усечённый конус, а также осевое сечение усечённого конуса.

    Рис. 246

    Объём данного усечённого конуса V вычислим как разность объёмов двух конусов: V=V1 - V2, где V1 — объём большего конуса, a V2 — объём меньшего верхнего конуса. Пусть h — высота меньшего конуса. Тогда h + H — высота большего конуса.

    По теореме об объёме конуса

    В этом равенстве нам неизвестна высота h. Выразим её через данные величины.

    Рассмотрим осевые сечения РА1B1 и РА2В2 двух конусов, лежащие в одной плоскости. Из подобия треугольников РА1В1 и РА2В2 имеем:

  • 27.9. Запишите формулу для объёма конуса,
    • а) Выразите из неё высоту конуса, радиус его основания,
    • б) Выразите объём конуса через образующую и радиус основания; через образующую и высоту.
  • 27.10. Вычислите объём конуса, у которого:
    • а) образующая равна 1 и составляет с плоскостью основания угол 30°;
    • б) образующая равна 2, а высота равна 1;
    • в) образующая равна диаметру основания и равна d.
  • 27.11. Вычислите объём тела вращения, полученного при вращении:
    • а) равностороннего треугольника со стороной 2 вокруг оси симметрии;
    • б) равностороннего треугольника со стороной 1 вокруг прямой, параллельной оси
    • симметрии и проходящей через вершину;
    • в) равнобедренной трапеции с основаниями 4 и 2 и углом при основании 45° вокруг оси симметрии;
    • г) ромба со стороной 1 и острым углом 60° вокруг меньшей диагонали;
    • д) ромба из п. г), но при вращении вокруг прямой, параллельной меньшей диагонали и проходящей через вершину.
  • 27.12. Вода в коническом сосуде была налита доверху,
    • а) На сколько понизился её уровень, когда отлили половину имеющейся воды?
    • б) Какая часть объёма осталась, когда уровень воды понизился в два раза?
  • 27.13. Как найти объём усечённого конуса, у которого известны радиусы обоих оснований и:
    • а) образующая;
    • б) угол наклона образующей к плоскости основания?
  • 27.14. Образующая конуса равна 1.
    1. При каком угле ср при вершине его осевого сечения объём конуса будет наибольшим?
    2. В каких границах лежит его объём, если высота конуса находится в промежутке:
      • а) (0; 0,5];
      • б) [0,5; 1)?
  • 27.15. Радиус основания конуса равен 2, а высота равна 1. В конусе провели сечение плоскостью через вершину под углом 45° к высоте конуса. Найдите отношение объёмов частей конуса.
  • 27.16. Площадь осевого сечения конуса равна 1.
    • а) Каким может быть объём конуса?
    • б) Как изменяется объём конуса, когда радиус его основания возрастает от 3 до 6?

Задачи на объём пирамиды

  • 27.17. Как найти объём правильной треугольной (четырёхугольной) пирамиды, у которой известны:
    • а) сторона основания и высота;
    • б) сторона основания и боковое ребро;
    • в) сторона основания и двугранный угол при основании;
    • г) боковое ребро и его угол с основанием?
  • 27.18. Как найти объём правильной треугольной (четырёхугольной) усечённой пирамиды, у которой известны стороны оснований и:
    • а) высота;
    • б) боковое ребро?
  • 27.19. Вычислите объём треугольной пирамиды РАВС, у которой все рёбра основания ABC равны 2, ребро РА = 3 и при этом:
    • а) Р проектируется в точку Б;
    • б) Р проектируется в середину ребра 8С;
    • в) Р проектируется в центр основания ABC;
    • г) угол между РА и (ABC) равен 45°;
    • д) ∠PAC = ∠PAB = 60°;
    • е) РВ = РС= 2.
  • 27.20. Вычислите наибольшее значение объёма тетраэдра, у которого:
    • а) пять рёбер равны 1;
    • б) четыре ребра равны 1.
  • 27.21. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 1. В каких границах лежит её объём?
  • 27.22. Как найти объём реального тетраэдра, делая замеры только на его поверхности?
  • 27.23. Вычислите объём четырёхугольной пирамиды PABCD, основанием которой является квадрат со стороной 1, ребро РА равно 2 и при этом:
    • а) Р проектируется в точку Б;
    • б) Р проектируется в точку С;
    • в) РА составляет с основанием угол 30°;
    • г) |PD| = |PC| = 2;
    • д) грани PAD и РАВ перпендикулярны основанию.
  • 27.24. В четырёхугольной пирамиде все боковые рёбра равны 1.
    • а) При каком угле φ между соседними боковыми рёбрами её объём наибольший, если её основание — квадрат?
    • б) В каких границах лежит её объём, если её основание — прямоугольник, одна сторона которого в два раза больше другой стороны?
  • 27.25. Какие измерения надо сделать на поверхности реальной четырёхугольной пирамиды, чтобы вычислить её объём?
  • 27.26. Как вычислить объём правильной усечённой четырёхугольной (треугольной) пирамиды, если известны стороны двух оснований и:
    • а) угол наклона бокового ребра к большему основанию;
    • б) угол между боковой гранью и большим основанием?
  • 27.27. Многогранник задан своими проекциями (рис. 247). Какие надо сделать измерения на этих проекциях, чтобы вычислить его объём?

Рис. 247

  • 27.28. Как разделить параллелепипед на:
    • а) шесть равновеликих пирамид;
    • б) три равновеликие пирамиды.
  • 27.29. В параллелепипед ABСDA1B1С1D1 вписан тетраэдр ACB1D1 Чему равно отношение их объёмов?

Задачи к п. 27.3

  • 27.30. Дан шар объёма V. Можно ли его поместить в тело объёма 2V, если это:
    • а) куб;
    • б) правильная треугольная призма;
    • в) цилиндр?
  • 27.31. Запишите формулу объёма шара,
    • а) Выразите его радиус как функцию от объёма,
    • б) Пусть радиус шара увеличили в два раза. Что произошло с объёмом?
    • в) Пусть объём уменьшился в три раза. Как изменился радиус шара?
  • 27.32. Из тысячи металлических шариков радиуса 1 сделали один шар. Каков его радиус?
  • 27.33. Что бы вы предпочли: съесть арбуз диаметром 30 см вчетвером или съесть арбуз диаметром 40 см ввосьмером?
  • 27.34.
    • а) Какая часть объёма шара радиуса R содержится между двумя концентрическими сферами (сферами с одним центром) радиусами R и 0,9R?
    • б) Каким надо взять радиус меньшей сферы, чтобы между ними заключалась — объёма шара? — объёма шара?
  • 27.35, Вычислите объём наибольшего шара, расположенного в:
    • а) кубе с ребром 1;
    • б) прямоугольном параллелепипеде с рёбрами 1, 2, 3;
    • в) правильном тетраэдре с ребром 1;
    • г) правильной треугольной призме, все рёбра которой равны 1;
    • д) правильной четырёхугольной пирамиде, все рёбра которой равны 1;
    • е) конусе, осевое сечение которого — прямоугольный равнобедренный треугольник с гипотенузой 1;
    • ж) цилиндре, осевое сечение которого — квадрат со стороной 1.

 

Top.Mail.Ru
Рейтинг@Mail.ru