24.1. Докажите, что в правильном многограннике есть точка, равноудалённая от всех его:
а) вершин;
б) граней;
в) рёбер.
Докажите, что это одна и та же точка. Её называют центром правильного многогранника.
24.2. Какие правильные многоугольники можно получить в сечении правильного тетраэдра? куба? других правильных многогранников?
24.3.
а) Нарисуйте куб. Найдите на его поверхности такие точки, которые являются вершинами многогранников, все грани которых правильные многоугольники, но не обязательно одного вида,
б) Проделайте такую же работу для правильного тетраэдра и октаэдра.
24.4. Как в каждой грани правильного додекаэдра провести одну её диагональ, чтобы эти двенадцать отрезков стали бы рёбрами куба?
24.5. Сравните число вершин, рёбер и граней у двойственных многогранников.
24.6. Как найти двугранные углы правильного многогранника?
24.7. Как построить правильный пятиугольник по его стороне?
24.8. Как построить правильный десятиугольник по его стороне?
24.9. Нарисуйте пятиконечную звезду из диагоналей правильного пятиугольника (пентаграмму). Выразите длины всех отрезков на этом рисунке через величины Ф и φ, полагая, что сторона исходного пятиугольника равна 1.
24.10. Какие из архимедовых тел можно получить, срезая плоскостями вершины правильных многогранников?
24.11. Используя теорему Эйлера, подсчитайте число вершин, рёбер и граней у архимедовых многогранников.