|
|
Учебник для 10-11 классов ГЕОМЕТРИЯЗадачи к главе IIIIII. 1.
III. 2.
III. 3. В шаре радиуса R два сечения радиуса r пересекаются под углом φ. Их пересечением является хорда длиной d. Установите связь между R, r, d, φ. III. 4. В данную сферу вписаны:
Их размеры известны. Как найти расстояния от центра сферы до оснований и боковых поверхностей цилиндра, конуса и усечённого конуса? III. 5. Четыре равных шара радиуса R расположены так, что каждый касается трёх остальных. Три из этих шаров лежат на горизонтальной плоскости, а четвёртый шар лежит над ними. Какова высота этого сооружения? Как найти радиус шара, описанного около этого сооружения. III. 6. Три цилиндра расположены так, что каждые два имеют единственную общую точку. Эта общая точка находится внутри образующей каждого из цилиндров. Оси цилиндров взаимно перпендикулярны, и одна из них вертикальна. Радиус каждого цилиндра равен R. Найдите радиус шара, который, падая вертикально, пройдёт через зазор, образованный цилиндрами. III. 7. В шаре радиуса R находится цилиндр с наибольшим по площади осевым сечением. Каковы размеры этого цилиндра? III. 8. Рассмотрите всевозможные цилиндры с диагональю осевого сечения, равной d. Вычислите радиус наибольшего шара, содержащегося в таком цилиндре, и радиус наименьшего шара, содержащего такой цилиндр. III. 9. В цилиндре, у которого высота равна диаметру основания и равна d, надо разместить два одинаковых шара. Каков их наибольший радиус? III. 10. Два равных конуса имеют общую вершину. Их боковые поверхности пересекаются по двум образующим. Докажите, что плоскость, проходящая через эти образующие, перпендикулярна плоскости, содержащей оси конусов. III.11. Два равных конуса имеют параллельные оси. Имеют ли они общую опорную плоскость, проходящую через образующие их поверхностей? III.12. Докажите, что окружность является линией пересечения (если такая существует):
III.13. Центр сферы лежит в вершине конуса. Радиус сферы меньше образующей боковой поверхности конуса. Докажите, что сфера пересекает боковую поверхность конуса по окружности.
III.14.
Применяем компьютерIII.15. Дана прямая р и отрезок АВ на прямой, параллельной прямой р. Найдите на прямой р такую точку X, чтобы угол АХВ был наибольшим. III.16. Среди всех равнобедренных треугольников ABC, описанных около данной окружности, касающейся основания АС, найдите треугольник наименьшей площади. III.17. Найдётся ли на заданной прямой точка, из которой два равных круга видны под равными углами? III.18. Впишите в данную окружность прямоугольник наибольшей площади. III.19. Дана окружность с центром О. В ней проведена хорда АВ, отличная от диаметра, и радиус ОС, перпендикулярный этой хорде. Пусть D — точка пересечения этого радиуса и этой хорды. Точка X движется по большей дуге окружности. Из неё проводятся две хорды: ХК, проходящая через точку D, и ХС. Пусть L — точка пересечения хорд ХС и АВ. Какой из отрезков длиннее: KD или LC? Итоги главы IIIВ § 16—19 доказаны всего три теоремы:
В главе III начато обсуждение важного вопроса о симметрии пространственных фигур. В § 20 изучены более сложные, чем в курсе основной школы, вопросы геометрии окружности.
|
|
|